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高數(shù)極限概念篇一
典型例題分析
客觀題
例 1 設(shè)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),a,b為常數(shù),則limf(x0?a?x)?f(x0?b?x)?xab?x?0?()
f?(x0)aabf?(x0)
b(a?b)f?(x0)
c(a?b)f?(x0)
d
答案 c
解
f(x0?a?x)?f(x0?b?x)lim??x?0?x[f(x0?a?x)?f(x0)]?[f(x0?b?x)?f(x0)]?lim? ?x?0?x
f(x0?b?x)?f(x0)f(x0?a?x)?f(x0)?blim
?alim
?x?0?x?0b?xa?x
?(a?b)f?(x0)
例2（89303）設(shè)f(x)在x?a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,則f(x)在x?a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（）1????f(a?2h)?f(a?h)(a)limh?f?a???f(a)?存在(b)lim存在h?0h???hh????(c)limf(a?h)?f(a?h)2hh?0存在(d)limf(a)?f(a?h)h存在h?0答案 d
解題思路
(1)對(duì)于答案(a)，不妨設(shè)
1h??x，當(dāng)h???時(shí)，?x?0，則有
?1?f(a??x)?f(a)???limh?f?a???f(a)??lim存在，這只表明f(x)在x?a處h????x?0h??x???右導(dǎo)數(shù)存在,它并不是可導(dǎo)的充分條件,故(a)不對(duì).?(2)對(duì)于答案(b)與(c),因所給極限式子中不含點(diǎn)a處的函數(shù)值f(a)，因此與導(dǎo)數(shù)概念不相符和.例如，若取
?1,x?af(x)??
0,x?a?則(b)與(c)兩個(gè)極限均存在，其值為零，但limf(x)?0?f(a)?1，從而f(x)在x?ax?a處不連續(xù)，因而不可導(dǎo)，這就說(shuō)明(b)與(c)成立并不能保證f?(a)存在，從而(b)與(c)也不對(duì).(3)記?x??h,則?x?0與h?0是等價(jià)的,于是 limf(a)?f(a?h)hh?0??limf(a?h)?f(a)hh?0?limf(a?h)?f(a)?h
h?0?x所以條件d是f?(a)存在的一個(gè)充分必要條件.例3(00103)設(shè)f(0)?0,則f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo)的充要條件為()?x?0?limf(a??x)?f(a)?f?(a)(a)lim1h1h2h?0f(1?cosh)存在(b)lim1h1hh?0f(1?e)存在
h(c)limh?02f(h?sinh)存在(d)limh?0?f(2h)?f(h)?存在
答案 b
解題思路
(1)當(dāng)h?0時(shí), 1?coshhh?02limf(1?cosh)h2h?0?lim2f(1?cosh)?f(0)h2?1.所以如果f?(0)存在,則必有
?limf(1?cosh)?f(0)1?coshh?0?lim1?coshh2h?0若記u?1?cosh,當(dāng)h?0時(shí),u?0,所以
f(1?cosh)?f(0)f(u)?f(0)lim?lim?f?(0)h?0h?01?coshu于是
?limf(1?cosh)h2h?0?12f?(0)
1h2這就是說(shuō)由f?(0)存在能推出limh?0f(1?cosh)存在.?h0,而不是u?0,因此 但是由于當(dāng)h?0時(shí),恒有u?1?cos?1f(x)?f(0)f??(0)?limlim2f(1?cosh)存在只能推出存在,而不能推出f?(0)h?0hx?0x存在.?
(2)當(dāng)h?0時(shí), 1?e??h?o(h),于是
hlimf(1?e)hhh?0?limf(?h?o(h))?f(0)hh?0??limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)
h?0 由于當(dāng)h?0時(shí), ?h?o(h)既能取正值,又能取負(fù)值,所以極限limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)h?0存在與limf(h)?f(0)hh?0?f?(0)存在是互相等價(jià)的.因而
極限lim1hh?0hf(1?e)存在與f?(0)存在互相等價(jià).(3)當(dāng)h?0時(shí), 用洛比塔法則可以證明limlimf(h?sinh)h2h?0,所以 6hf(h?sinh)?f(0)h?sinh?lim?lim?h 3h?0h?0h?sinhhh?03h?sinh?1由于h?0,于是由極限limf(h?sinh)?f(0)h?sinhh?0?limh?sinhh3h?0?h存在未必推出h?sinh(4)f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo)一定有(d)存在,但(d)存在不一定f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo).h?0limf(h?sinh)?f(0)也存在,因而f?(0)未必存在.例 4(98203)函數(shù)f(x)?(x?x?2)|x?x|有()個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)
(a)0(b)1(c)2(d)3
答案 c
解題思路 當(dāng)函數(shù)中出現(xiàn)絕對(duì)值號(hào)時(shí),不可導(dǎo)的點(diǎn)就有可能出現(xiàn)在函數(shù)的零點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù)零點(diǎn)是分段函數(shù)的分界點(diǎn).因此需要分別考察函數(shù)在點(diǎn)x0?0,x1?1,x2??1考察導(dǎo)數(shù)的存在性.解 將f(x)寫(xiě)成分段函數(shù):
23?(x2?2?(xf(x)??2?(x?(x2??x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),?x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),2222x??1,?1?x?0,0?x?1,1?x.(1)在x0?0附近,f(x)寫(xiě)成分段函數(shù):
22?x(x?x?2)(x?1),x?0?23 f(x)?(x?x?2)|x?x|??22??x(x?x?2)(1?x),x?0容易得到
f(x)?f(0)22?f?(0)?lim?lim(x?x?2)(x?1)?2
??x?0x?0xf(x)?f(0)22f??(0)?lim?lim(x?x?2)(1?x)??2
??x?0x?0x由于f??(0)?f??(0),所以f?(0)不存在.(2)在x1?1附近,f(x)寫(xiě)成分段函數(shù):
2?x(1?x)(x?x?2)(1?x),x?1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??
2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x?1f(x)?f(1)2?f?(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4
??x?1x?1x?1f(x)?f(1)2f??(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4
??x?1x?1x?1由于f??(1)?f??(1),所以f?(1)不存在.(3)在x2??1附近,f(x)寫(xiě)成分段函數(shù):
2?x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??
2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1f??(?1)?limf(x)?f(?1)?x??1x?0x?1由于f??(?1)?f??(?1)?0,所以f?(?1)存在.x??1??f??(?1)?limx?1f(x)?f(?1)??limx??1?x(x?1)(x22?x?2)?0
?limx(x?1)(x?x?2)?0
綜合上述分析,f(x)有兩個(gè)不可導(dǎo)的點(diǎn).例5(95103)設(shè)f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f(x)?f(x)?(1?|sinx|),則f(0)?0是f(x)在x?0處可導(dǎo)的()
(a)必要但非充分條件
(b)充分但非必要條件
(c)充分且必要條件
(d)既非充分也非必要條件
答案 c
分析 從f(x)在x?0的導(dǎo)數(shù)定義著手.將f(x)?f(x)?(1?|sinx|)?f(x)?f(x)?|sinx| 解
f(x)?f(0)f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|?lim?limf??(0)?lim
x?0x?0x?0x?0x?0x?0
?f?(0)?f(0)
f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|f(x)?f(0)?lim?limf??(0)?lim
???x?0x?0x?0x?0x?0x?0?f?(0)?f(0)
于是推知f??(0)?f??(0)的充分必要條件是f(0)?0.??? 例6(92103)設(shè)函數(shù)f(x)?3x?x|x|,則使f32(n)(0)存在的最高階數(shù)n?().(a)0
(b)1(c)
2(d)3
答案 c
解題思路 應(yīng)先去掉f(x)中的絕對(duì)值,將f(x)改寫(xiě)為分段函數(shù)
?2x3 f(x)?3x?x|x|??3?4x32x?0x?0x?0x?0
?2x3 解 由f(x)?3x?x|x|??3?4x32
?6x2得f?(x)??2?12xx?0x?0
?12x且f??(x)???24x又f??(0)?limx?0??12 f???(x)??x?0?24x?0x?0x?0
f(x)?f(0)x?0?limx?02x?0?3x?0?0,f??(0)?limf(x)?f(0)?x?0x?0?limx?04x?0?3x?02?0
所以f?(0)存在.f???(0)?limf?(x)?f?(0)?x?0x?0??limx?06x?0?x?012x??0 ?0?0 f???(0)?limf?(x)?f?(0)x?02?limx?0x?0x?0所以f??(0)存在.f????(0)?limf??(x)?f??(0)?x?0x?0??limx?012x?0?x?0??12
x?0即f????(0)?f????(0).因而使fx?0f????(0)?limf??(x)?f??(0)?24
x?0(n)(0)存在的最高階數(shù)是2.x?0?lim24x?0
例7 f(x)?cos|x|?x2|x|存在的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等于（）
a
0
b 1
c 2
d 3 答案 c 解題思路 注意cos|x|?cosx,所以只需考察x|x|在點(diǎn)x?0的情況.例8(96203)設(shè)??0,f(x)在區(qū)間(??,?)內(nèi)有定義，若當(dāng)x?(??,?)時(shí)，恒有f(x)?x，則x?0必是f(x)的（）
(a)間斷點(diǎn)，(b)連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)，(c)可導(dǎo)的點(diǎn)，且2f'(0)?0
(d)可導(dǎo)的點(diǎn)，且f'(0)?0
答案
c
解 由題目條件易知f(0)?0,因?yàn)?/p>
|所以由夾逼定理
f(x)?f(0)x|?|f(x)xf(x)x|?|x2x|
2lim|x?0f(x)?f(0)x|?lim|x?0|?lim|x?0xx|?0
于是f?(0)?0.?1?e?x?,x?0, 則f?(0)為（）
例9(87103)設(shè)f(x)??x?0,x?0.?
1(a)0
(b)
(c)1
(d)?1
2答案
(c)
解題思路
因f(x)為分段函數(shù),故它在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)按導(dǎo)數(shù)的定義，又由于是未定式,可用洛必達(dá)法則求極限.200型解
1?e f?(0)?lim?x2f(x)?f(0)x?0u?limx?0x?0xx?0?0?lim1?ex?x2x?02?x
2當(dāng)u?0時(shí),e ?1與u是等價(jià)無(wú)窮小,所以當(dāng)x?0時(shí),1?e與x是等價(jià)無(wú)窮小.因而
2lim1?ex?x2x?02?1
12,則?x?0時(shí),f(x)在x0處的微分dy與
例10(88103)設(shè)f(x)可導(dǎo)且f?(x0)??x比較是()的無(wú)窮小.(a)等價(jià)(b)同階(c)低階(d)高階
答案 b
解題思路
根據(jù)y?f(x)在x?x0處的微分的定義:dy?f?(x0)?x.?x12 解 lim?lim?,可知dy與?x是同階的無(wú)窮小.?x?0?x?x?0?x21??xsin,x?0
例11(87304)函數(shù)f(x)??在x?0處（）x?x?0?0,dy
(a)連續(xù),且可導(dǎo)
(b)連續(xù),不可導(dǎo)
(c)不連續(xù)
(d)不僅可導(dǎo),導(dǎo)數(shù)也連續(xù)
答案 b
解題思路
一般來(lái)說(shuō),研究分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí),應(yīng)當(dāng)分別考察函數(shù)的左右極限;在具備連續(xù)性的條件下,為了研究分段函數(shù)在分界點(diǎn)處可導(dǎo)性,應(yīng)當(dāng)按照導(dǎo)數(shù)定義,或者分別考察左右導(dǎo)數(shù)來(lái)判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否存在.因此,本題應(yīng)分兩步:(1)討論連續(xù)性;(2)討論可導(dǎo)性.解(1)討論函數(shù)在點(diǎn)x?0處的連續(xù)性
1?0?f(0),可知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?0處是連續(xù)的.由于limf(x)?limxsinx?0x?0x
(2)討論函數(shù)在點(diǎn)x?0處的可導(dǎo)性
1xsin?0f(x)?f(0)1x?lim?limsin
由于lim不存在,所以,函數(shù)f(x)在點(diǎn)
x?0x?0x?0x?0xxx?0處不可導(dǎo).??x
例12 設(shè)f(x)????p必須滿足（）p1sin01x,x?0,x?0 在點(diǎn)x?0可導(dǎo),但是f?(x)導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)x?0不連續(xù),則
a0?p?1
b1?p?2
c0?p?2
d1?p?答案 b
解題思路
(1)當(dāng)p?1時(shí),下述極限不存在: x因此f?(0)不存在.當(dāng)p?1時(shí), x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1
x?0xxx所以f?(0)?0.x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1?0
x?0xx這就是說(shuō),只有當(dāng)p?1時(shí), f?(0)才存在,所以選項(xiàng)a,c可以被排除.(2)當(dāng)p?1時(shí)
0,x?0?? f?(x)??11p?1p?2sin?xcos,x?0?pxxx?當(dāng)且僅當(dāng)p?2?0,即p?2時(shí),limf?(x)?0?f?(0),所以當(dāng)且僅當(dāng)1?p?2時(shí)，x?0f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo),但是f?(x)在點(diǎn)x?0不連續(xù).例13(95403)設(shè)f(x)可導(dǎo)，且滿足條件limf(1)?f(1?x)2x12x?0??1,則曲線y?f(x)在(1,f(1))處的切線斜率為（）(a)2,(b)?2,(c),(d)?1
答案 b
解 記?u??x,則有
f(1)?f(1?x)1f(1??u)?f(1)1lim?lim?f?(1)x?02x2?u?0?u2
例1
4設(shè)y?ln(1?2x),則y
(a)(10)?()
9!(1?2x)10
(b)?9!(1?2x)10
(c)10!?2910(1?2x)
(d)?9!?21010(1?2x)
答案 d
解題思路
求高階導(dǎo)數(shù)的一般方法是: 先求出一階、二階、三階導(dǎo)數(shù);找出規(guī)律,即可寫(xiě)出高階導(dǎo)數(shù).?2y??, 1?2x?21y???(?2)(?1)?(?2)(?1)(?2)
22(1?2x)(1?2x)y????(?2)(?1)(?2)(?2)?2(1?2x)3
y(10)??9!?21010(1?2x).例17
(90103)設(shè)函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù),且f?(x)?f(x),則f(n)(x)?(n?1),(n?2).n?1(a)n!f(x)(b)nf(x)(c)f2n(x)(d)n!f2n(x)
答案 a
解題思路 這是一個(gè)求高階導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題,涉及到求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解
由f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)且f?(x)?f(x),可知
2f??(x)?f(x)3????2f(x)?f?(x)?2f(x)?f????f(x)??2f(x)??3?2f(x)?f?(x)?3!f2(n)n?12(x)?2f(x),(x)
34依此由歸納法可知 f(x)?n!f(x)
注意(1)當(dāng)n?1,n?2時(shí)雖然(b)也正確,但當(dāng)n?2就不正確了,所以將(b)排除之;
?222(2)在求導(dǎo)數(shù)f(x)時(shí),可將函數(shù)f(x)看成是由y?t與t?f(x)復(fù)合而成的,??????(t)??f?(x)?2t?f?(x)?2f(x)?f?(x).?(初學(xué)者可能會(huì)這樣做:?f(x)??2f(x),后面丟掉一個(gè)因子f?(x).則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,故f(x)222
例18(91303)若曲線y?x?ax?b和2y??1?xy在點(diǎn)(1,?1)處相切，其中
23a,b是常數(shù),則（）(a)a?0,b??
2(b)a?1,b??3
(c)a??3,b?
1(d)a??1,b??1
答案 d
解題思路
兩曲線在某點(diǎn)相切就是指兩曲線在此公共點(diǎn)處共一條切線,從而兩曲線的斜率也應(yīng)相等.解
曲線y?x?ax?b在點(diǎn)(1,?1)處的斜率是
2k1?(x?ax?b)?2x?1?(2x?a)x?13?2?a
另一條曲線是由隱函數(shù)2y??1?xy確定,該曲線在點(diǎn)(1,?1)處的斜率可以由隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得到: 對(duì)于方程2y??1?xy兩邊求導(dǎo)得到2y??3xyy??y,解出y?得到此曲線在點(diǎn)(1,?1)處的斜率為
k2?y?x?1y??1323?y322?3xy?1
x?1y??12令k1?k2,立即得到a??1.再將a??1,x?1,y??1代入y?x?ax?b中得出b??1.例19設(shè)f(x),g(x)定義在(?1,1)，且都在x?0處連續(xù)，若?g(x)?x?0f(x)??x，則（）?x?0?2(a)limg(x)?0且g'(0)?0，(b)limg(x)?0且g'(0)?1
x?0x?0(c)limg(x)?1且g'(0)?0
(d)limg(x)?0且g'(0)?2
x?0x?0 答案 d
解題思路 分析函數(shù)f(x)的表達(dá)式,并運(yùn)用f(x)在x?0處連續(xù)這一關(guān)鍵條件.解 既然f(x)在x?0處連續(xù),于是必有l(wèi)imf(x)?limx?0g(x)xx?0?2,于是必有l(wèi)img(x)?0.于是又有g(shù)?(0)?limx?0g(x)?g(0)xx?0?limg(x)xx?0?2.?1?cosx? 例 20(99103)設(shè)f(x)??x2?xg(x)?x?0x?0 其中g(shù)?(x)是有界函數(shù),則f(x)在x?0處()(a)極限不存在(b)極限存在,但不連續(xù)
(c)連續(xù),但不可導(dǎo)(d)可導(dǎo)
答案 d
解題思路
若能首先判定f(x)在x?0處可導(dǎo),則(a)、(b)、(c)均可被排除.解
x f??(0)?lim21f(x)?f(0)?x?0x?0x2?limx?01?cosx?3?limx?02?3?limx?0x2?x)
2x22?0
(x?0時(shí)1?cosx~ f??(0)?lim2f(x)?f(0)?x?0xx?0由于f(x)在x?0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù),因而 f(x)在x?0處可導(dǎo).x?0x?0??limxg(x)2?limxg(x)?0（g(x)是有界函數(shù)）
? 例21 設(shè)f(x)?sinx,則(f(f(x)))??()(sinx)cosx (sinx)cosx (cosx)sinx (cosx)sinx
答案 a
例 22 設(shè)f(x)是可導(dǎo)函數(shù),則()a.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為偶函數(shù)b.若f(x)為單調(diào)函數(shù)c.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為奇函數(shù)d.若f(x)為非負(fù)函數(shù) 答案 a
解題思路 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,利用函數(shù)的奇性.解 由于f(?u)??f(u),所以 ,則f?(x)為單調(diào)函數(shù) ,則f?(x)為非負(fù)函數(shù)
f?(x)?limlimf(x??x)?f(x)?xf[?x?(??x)]?f(?x)?x?0?lim?f(?x??x)?f(?x)?x
?x?0??x因此f?(x)為偶函數(shù).?x?0?f?(?x)例23 設(shè)y?esinsin22x,則dy?()sin2 c.2e 答案 d
解題思路 運(yùn)用復(fù)合函數(shù)微分法
例 24 設(shè)f?(0)存在,lim(1?x?0xxsin2xsincosx d.e2xsin2x
1?cosf(x)sinx1)x?e,則f?(0)?()a.0 b.1 c.答案 c
解 由 c.e
lim(1?x?01?cosf(x)sinx1)x?e
可以知道當(dāng)x?0時(shí),有
lim(參閱第一章1.5的例2)
x?011?cosf(x)??1 xsinxf2當(dāng)x?0時(shí),sinx與x是等價(jià)無(wú)窮小,1?cosf(x)與
(x)2是等價(jià)無(wú)窮小.于是
f(x)11?cosf(x)1lim??lim?1 2x?0xx?0sinx2x又因?yàn)閒?(0)存在,所以此式又推出 f?(0)?limf(x)xx?02?2.1?,x?0?arctan 例 25 設(shè)f(x)?? 在點(diǎn)x?0可導(dǎo),則()x?ax?b,x?0?a.a?1,b??2 b.a?1,b?0 c.a??1,b???2 d.a??1,b??2
答案d
解題思路 先考察函數(shù)在點(diǎn)x?0左右極限,確定連續(xù)性,再考察左右導(dǎo)數(shù).由可微性最終確定a,b.解
1???,所以b??.(1)limf(x)?lim(ax?b)?b,limf(x)?limarctan??x?0x?0x22x?0x?0??于是f(0)??2.(2)f??(0)?a,f??(0)?limx?0f(x)?f(0)?arctan?limx?0?1xx??2
xarctan1xx??2: 以下需要用洛比塔法則求極限limx?0?
arctanlimx?0?1x??2?lim?(arctan1xx???2)??limx?0??1x2xx?0于是由f??(0)?f??(0)推出a??1
?1??1
例26.(93303)若f(x)??f(?x),且在(0,??)內(nèi)f?(x)?0,f??(x)?0,則f(x)在(??,0)內(nèi)必有
(a)f?(x)?0,f??(x)?0(b)f?(x)?0,f??(x)?0
(c)f?(x)?0,f??(x)?0(d)f?(x)?0,f??(x)?0 答案 c
解體思路 所給函數(shù)顯然是奇函數(shù),因此f?(x)是偶函數(shù),f??(x)是奇函數(shù).解 由f?(x)?0,x?(0,??)知f?(x)?0,x?(??,0);由f??(x)?0,x?(0,??)知f??(x)?0,x?(??,0).
高數(shù)極限概念篇二
第二章 極限和連續(xù) 【字體：大 中 小】【打印】
2.1 數(shù)列極限
一、概念的引入（割圓術(shù)）
“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣” ——?jiǎng)⒒?/p>
正六邊形的面積a正十二邊形的面積a2
n-1
正6×2形的面積an
a1，a2，a3，?，an，?→?s
二、數(shù)列的定義
定義:按自然數(shù)1，2，3?編號(hào)依次排列的一列數(shù)x1，x2，?，xn，?（1）
稱為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列。其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，xn稱為通項(xiàng)（一般項(xiàng)）。數(shù)列（1）記為{ xn }。
例如
nn
2，4，8，?，2，?；{ 2}
注意：
（1）數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列，可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取
（2）數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)xn=f（n）
三、數(shù)列的極限
1.定義 設(shè){xn}是一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限接近于常數(shù)a，則稱數(shù)列{ xn }收斂，a是數(shù)列{ xn }的極限，或者稱數(shù)列xn收斂于a，記為。
如果數(shù)列沒(méi)有極限，就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的。
例如
nn
2，4，8，?，2，?；{ 2}，發(fā)散，發(fā)散
收斂于0
2.數(shù)列極限的性質(zhì)（1）唯一性
定理 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限。（2）有界性
定義: 對(duì)數(shù)列xn，若存在正數(shù)m，使得一切自然數(shù)n, 恒有|xn|≤m成立, 則稱數(shù)列xn有界，否則，稱為無(wú)界。
例如，數(shù)列有界，數(shù)列無(wú)界
數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)xn都落在閉區(qū)間[-m，m]上。
定理 收斂的數(shù)列必定有界。
注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件。推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散。（3）保號(hào)性
收斂數(shù)列的保號(hào)性：假設(shè)數(shù)列{αn}收斂，其極限為α，1）若有正整數(shù)n，n＞n時(shí)，αn＞0（或＜0），則α≥0（或α≤0）2）若α＞0（或＜0，則有正整數(shù)n，使得當(dāng)n＞n時(shí)，αn＞0（或＜0）
2.2 級(jí)數(shù)
1.級(jí)數(shù)的定義:
稱為數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)（或簡(jiǎn)稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)），un為一般項(xiàng)。
2.級(jí)數(shù)的部分和
3.部分和數(shù)列
4.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散
當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列sn有極限s，即則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂,這時(shí)極限s叫做級(jí)數(shù)的和,并寫(xiě)成。
如果sn沒(méi)有極限，則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)
數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂
存在
發(fā)散。
例1.討論等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）
（a≠0）的收斂性。
【答疑編號(hào)11020101：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：如果q≠1時(shí)，當(dāng)|q|＜1時(shí),當(dāng)|q|＞1時(shí)
如果|q|=1時(shí)
當(dāng)|q|=1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散
收斂 發(fā)散
當(dāng)q=-1時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)棣?α+α-α+?
不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散
綜上
例2.（56頁(yè)1（3））判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性，并在收斂時(shí)求出其和：
【答疑編號(hào)11020102：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
由
得級(jí)數(shù)收斂，其和為。
例3.判斷級(jí)數(shù)的斂散性
【答疑編號(hào)11020103：針對(duì)該題提問(wèn)】
例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性，并在收斂時(shí)求出其和
【答疑編號(hào)11020104：針對(duì)該題提問(wèn)】
例5.判別無(wú)窮級(jí)數(shù)
的收斂性。
【答疑編號(hào)11020105：針對(duì)該題提問(wèn)】
解
∴級(jí)數(shù)收斂，和為。
2.3 函數(shù)極限
兩種情形:
（1）x→∞情形：
（2）x→x0情形：
一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限
定義：設(shè)m是任意一個(gè)正數(shù)，函數(shù)f（x）在上有定義，如果存在常數(shù)a，當(dāng)|x|無(wú)限增大（即|x|→∞）時(shí)，f（x）無(wú)限接近于a，則稱a為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限，或簡(jiǎn)稱為f（x）在無(wú)窮大處的極限，記為
或f(x)→a，當(dāng)x→∞時(shí)。
定理：
例1.（60頁(yè)例
5、例6）求下列函數(shù)的極限
（1）
【答疑編號(hào)11020201：針對(duì)該題提問(wèn)】
（2）
【答疑編號(hào)11020202：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：對(duì)于函數(shù)
對(duì)于函數(shù)f（x）=arctanx，由反正切曲線y=arctanx的圖形，易見(jiàn)
所以，極限
例2.不存在。
【答疑編號(hào)11020203：針對(duì)該題提問(wèn)】
例3.【答疑編號(hào)11020204：針對(duì)該題提問(wèn)】
例4.【答疑編號(hào)11020205：針對(duì)該題提問(wèn)】
二、函數(shù)在有限點(diǎn)處的極限（自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限）
1.定義：給定函數(shù)y=f（x）在（x∈d）上有定義，假設(shè)點(diǎn)x0的某一去心鄰域，如果存在常數(shù)a，使得當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)值f（x）無(wú)限接近于a，則稱a為函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記為
或 f（x）→a，當(dāng)x→x0時(shí)。
2.單側(cè)極限
定義：設(shè) f（x）在x0的一個(gè)左鄰域中有定義，如果存在常數(shù)a，使得當(dāng)相應(yīng)的函數(shù)值（fx）無(wú)限接近于a，則稱a為函數(shù)f(x)當(dāng) 時(shí)的左極限，記為
定理：
時(shí)，或（fx0-0）。
例5.62頁(yè)2：（5）（6）（7）
求函數(shù)在指定點(diǎn)的左右極限，判定該點(diǎn)極限是否存在。
（5）x=2
【答疑編號(hào)11020206：針對(duì)該題提問(wèn)】
（6）x=0
【答疑編號(hào)11020207：針對(duì)該題提問(wèn)】
（7），x=0
【答疑編號(hào)11020208：針對(duì)該題提問(wèn)】
問(wèn)題：函數(shù)y=f（x）在x→x0的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)函數(shù)值f（x）無(wú)限趨近于確定值a。
例6.求
【答疑編號(hào)11020209：針對(duì)該題提問(wèn)】
注意：函數(shù)極限與f（x）在點(diǎn)x0是否有定義無(wú)關(guān)
三、函數(shù)極限的性質(zhì) 1.唯一性
定理 若limf(x)存在，則極限唯一。2.有界性
定理（有極限函數(shù)的局部有界性）假設(shè)中有界，即有常數(shù)m＞0，使得在x0的某個(gè)去心鄰域
3.保號(hào)性
若
推論
存在，則f（x）在x0點(diǎn)的某個(gè)鄰域
中，有，且a＞0（或a＜0）
若時(shí)
f(x)≥0（或f(x)≤0），則a≥0（或a≤0）
四、小結(jié)
函數(shù)極限的統(tǒng)一定義
2.4 極限的運(yùn)算法則
一、極限運(yùn)算法則
定理
設(shè)
（1）
（2）
，則
（3）
例7.【答疑編號(hào)11020210：針對(duì)該題提問(wèn)】
推論1
如果lim f(x)存在，而c為常數(shù)，則
常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面。
推論2
如果lim f(x)存在，而n是正整數(shù)，則
二、求極限方法舉例
例8.求
【答疑編號(hào)11020211：針對(duì)該題提問(wèn)】
解
（直接代入法）
例9.求。
【答疑編號(hào)11020212：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：x→1時(shí)，分子，分母的極限都是零。（型）
（消去零因子法或因式分解法）
例10.求
【答疑編號(hào)11020213：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：先變形再求極限。
例11.求
【答疑編號(hào)11020214：針對(duì)該題提問(wèn)】
三、小結(jié)
1.極限的四則運(yùn)算法則及其推論； 2.極限求法
a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限； b.因式分解法消去零因子求極限； c.通分法
d.利用左右極限求分段函數(shù)極限。
2.5 無(wú)窮小和無(wú)窮大
一、無(wú)窮小
1.定義：極限為零的變量稱為無(wú)窮小。
函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無(wú)窮小，記作
例如，∴函數(shù)sinx是當(dāng)x→0時(shí)的無(wú)窮小。
，∴函數(shù)是當(dāng)x→∞時(shí)的無(wú)窮小。
，∴數(shù)列是當(dāng)n→∞時(shí)的無(wú)窮小。
注意：
（1）無(wú)窮小是變量，不能與很小的數(shù)混淆；（2）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)。2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系：
其中α（x）是當(dāng)x→x0時(shí)的無(wú)窮小。
定理
3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)：
（1）在同一過(guò)程中，有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小。（2）有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小。（3）有界變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。
例如，當(dāng)x→0時(shí)，二、無(wú)窮大
1.定義：絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大。
函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無(wú)窮大，記作。
2.特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大。
注意：
（1）無(wú)窮大是變量，不能與很大的數(shù)混淆；（2）切勿將 認(rèn)為極限存在。
（3）無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量，但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大。
例如，三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系
是無(wú)界變量不是無(wú)窮大。
1.定理 在同一過(guò)程中，無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小；恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大。
2.意義：關(guān)于無(wú)窮大的討論，都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論。
例1.求。
【答疑編號(hào)11020301：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
又
商的法則不能用
由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得
例2.求。
【答疑編號(hào)11020302：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：x→∞時(shí)，分子，分母的極限都是無(wú)窮大。（先用x3去除分子分母，分出無(wú)窮小，再求極限。
型）
（無(wú)窮小因子分出法）
例3.求
【答疑編號(hào)11020303：針對(duì)該題提問(wèn)】
例4.求
【答疑編號(hào)11020304：針對(duì)該題提問(wèn)】
小結(jié)：當(dāng)，m和n為非負(fù)整數(shù)時(shí)有
無(wú)窮小分出法：以分子、分母中自變量的最高次冪除分子，分母，以分出無(wú)窮小，然后再求極限。
例5.【答疑編號(hào)11020305：針對(duì)該題提問(wèn)】
例6.求
【答疑編號(hào)11020306：針對(duì)該題提問(wèn)】
例7.求
【答疑編號(hào)11020307：針對(duì)該題提問(wèn)】
例8（2007年10月）
【答疑編號(hào)11020308：針對(duì)該題提問(wèn)】
例9（2007年10月）、下面a、b、c、d四個(gè)極限中，哪一個(gè)極限存在（）
a.b.c.d.【答疑編號(hào)11020309：針對(duì)該題提問(wèn)】
答案：d
例10（2007年4月）
（）
a.0
b.1 c.-1
d.不存在
【答疑編號(hào)11020310：針對(duì)該題提問(wèn)】 答案：b
例11（2007年7月）
【答疑編號(hào)11020311：針對(duì)該題提問(wèn)】
計(jì)算
例12（2005年）計(jì)算
【答疑編號(hào)11020312：針對(duì)該題提問(wèn)】
2.6 兩個(gè)重要極限
2.6.1 關(guān)于
例
1、計(jì)算
【答疑編號(hào)11020401：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
例
2、【答疑編號(hào)11020402：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
例3、80頁(yè)第1題（5）
【答疑編號(hào)11020403：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
例
4、【答疑編號(hào)11020404：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
例
5、【答疑編號(hào)11020405：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
例
6、判斷四個(gè)極限分別屬于哪一種類型：
（1）
【答疑編號(hào)11020406：針對(duì)該題提問(wèn)】
（2）
【答疑編號(hào)11020407：針對(duì)該題提問(wèn)】
（3）
【答疑編號(hào)11020408：針對(duì)該題提問(wèn)】
（4）
【答疑編號(hào)11020409：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
解：
例
7、求
【答疑編號(hào)11020410：針對(duì)該題提問(wèn)】
解
2.6.2 關(guān)于
例
1、求
【答疑編號(hào)11020501：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
例
2、【答疑編號(hào)11020502：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
例
3、【答疑編號(hào)11020503：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
例
4、【答疑編號(hào)11020504：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
方法一：
方法二：
例
5、【答疑編號(hào)11020505：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
例
6、【答疑編號(hào)11020506：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
例
7、【答疑編號(hào)11020507：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
例
8、【答疑編號(hào)11020508：針對(duì)該題提問(wèn)】 解： 方法一：
方法二：
例9、81頁(yè)4題（8）
【答疑編號(hào)11020509：針對(duì)該題提問(wèn)】
解：
小結(jié)：
第一類重要極限：
第二類重要極限：
2.5.4 無(wú)窮小的比較
例如，當(dāng)x→0時(shí)，觀察各極限
都是無(wú)窮小。
，x比3x要快得多； 2，sinx與x大致相同；
不存在，不可比。
極限不同，反映了趨向于零的“快慢”程度不同。
定義：
設(shè)α，β是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，且α≠0.（1）如果，就說(shuō)β是比α高階的無(wú)窮小，記作β=o（α）；
（2）如果，就說(shuō)β與α是同階的無(wú)窮小；
特殊地如果
等價(jià)無(wú)窮?。?，則稱β與α是等價(jià)的無(wú)窮??；記作α～β；
例：
【答疑編號(hào)11020601：針對(duì)該題提問(wèn)】
例：
【答疑編號(hào)11020602：針對(duì)該題提問(wèn)】
得：當(dāng)x→0時(shí)，例：
（1）73頁(yè)8題：
當(dāng)x→∝時(shí)，a，b，c應(yīng)滿足什么條件可使下式成立？
（1）
（2）
等價(jià)無(wú)窮小代換
等價(jià)代換原理：在同一極限過(guò)程中的三個(gè)變量u，v，w，如果u，v是無(wú)窮小量，且等價(jià)，則有
，由
得：當(dāng)x→0時(shí)，常用等價(jià)無(wú)窮小：
當(dāng)x→0時(shí)，牢記常用的等價(jià)無(wú)窮小：
當(dāng)x→0時(shí)，例：
【答疑編號(hào)11020603：針對(duì)該題提問(wèn)】
例：
【答疑編號(hào)11020604：針對(duì)該題提問(wèn)】
例
求
【答疑編號(hào)11020605：針對(duì)該題提問(wèn)】
錯(cuò)解
當(dāng)x→0時(shí)，解
當(dāng)x→0時(shí)，例
（1）80頁(yè)1題（7）
【答疑編號(hào)11020606：針對(duì)該題提問(wèn)】
（2）80頁(yè)1題（9）
【答疑編號(hào)11020607：針對(duì)該題提問(wèn)】
（3）80頁(yè)1題（10）
【答疑編號(hào)11020608：針對(duì)該題提問(wèn)】
（4）80頁(yè)2題：設(shè)
【答疑編號(hào)11020609：針對(duì)該題提問(wèn)】，求a，b
例：94頁(yè)3題（4）：
【答疑編號(hào)11020610：針對(duì)該題提問(wèn)】
例：94頁(yè)4題（1）：證明當(dāng)時(shí)，sin（2cosx）與是同階無(wú)窮小。
【答疑編號(hào)11020611：針對(duì)該題提問(wèn)】
例：81頁(yè)8題：設(shè)
【答疑編號(hào)11020612：針對(duì)該題提問(wèn)】，求k。
小結(jié)
1.兩個(gè)重要極限
2.無(wú)窮小的比較： 反映了同一過(guò)程中，兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢，但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.高（低）階無(wú)窮??；等價(jià)無(wú)窮小； 3.等價(jià)無(wú)窮小的替換：
求極限的又一種方法，注意適用條件.2.7 函數(shù)的連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)
一、函數(shù)的連續(xù)性
1.函數(shù)的增量
設(shè)函數(shù)f（x）在
內(nèi)有定義，稱為自變量在點(diǎn)的增量。
2.連續(xù)的定義
定義1 設(shè)函數(shù)f（x）在的函數(shù)的增量f（x）在點(diǎn)
定義2 設(shè)函數(shù)f（x）在也趨向于零，即連續(xù)，稱為
內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量
或的連續(xù)點(diǎn).趨向于零時(shí)，對(duì)應(yīng)，那么就稱函數(shù)
內(nèi)有定義，如果函數(shù)
當(dāng)
時(shí)的極限存在，且
高數(shù)極限概念篇三
求函
摘要: 本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作了一個(gè)比較全面的概括、綜合。
關(guān)鍵詞：函數(shù)極限
引言
在數(shù)學(xué)分析與微積分學(xué)中,極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)而貫穿全部?jī)?nèi)容,因此掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微積分的關(guān)鍵一環(huán)。本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作一個(gè)比較全面的概括、綜合,力圖在方法的正確靈活運(yùn)用方面,對(duì)讀者有所助益。
主要內(nèi)容
一、求函數(shù)極限的方法
1、運(yùn)用極限的定義 例: 用極限定義證明: limx?3x?2x?22x?2?1
證: 由 x2?3x?2x?2?1?x2?4x?4x?2
??x?2?2x?2?x?2
???0 取??? 則當(dāng)0?x?2?? 時(shí),就有
x2?3x?2x?2?1??
由函數(shù)極限???定義有: 2limx?3x?2x?2x?2?1
2、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)
若 limf(x)?a limg(x)?b
x?x0x?x0(i)lim?f(x)?g(x)?? limf(x)x?x?limg(x)?a?b
0x?x0x?x0(ii)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?a?b
x?x0x?x0x?x0(iii)若 b≠0 則：
limlimf(x)xf(x)0ax?xg(x)?x?0limx?xg(x)?b
0iv）limc?f(x)?c?limf(x)?ca（c為常數(shù)）
x?x0x?x0上述性質(zhì)對(duì)于x??,x???,x???時(shí)也同樣成立
（
例：求 limx?3x?5x?422 2x?2解: limx?3x?52?3?2?55x?2x?4=
2?4?2
3、約去零因式（此法適用于x?x0時(shí),00型例: 求32limx?x?16x?20x3?7x2?16x?12
x??2解:原式=lim?x3?3x2?10x??(2x2?6x?20)x??2?x3?5x2?6x??(2x2?10x?12)
lim(x?2)(x2?3x?10)(x?2)(x? x??225x?6)=(x2lim?3x?10)?5)(x?2)x??2(x2?5x?6)=
xlim(x??2(x?2)(x?3)=x?5x?3??7
xlim??
24、通分法（適用于???型）例: 求 lim(41x?24?x2?2?x)
解: 原式=lim4?(2?x)(2?x)?(2?x)
x?2=lim(2?x)(2?x)(2?x)
x?23
=
=lim12?xx?2?14
5、利用無(wú)窮小量性質(zhì)法（特別是利用無(wú)窮小量與有界量之乘積仍為無(wú)窮小量的性質(zhì)）
設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足：（i）limf(x)?0
x?x0(ii)g(x)?m(m為正整數(shù))則：limg(x)f(x)?0
x?x0例: 求 limx?sin1x
x?0 解: 由 lim0 而 sin1x?1
x?0x?故 原式 =limx?sin1x?0x?0
6、利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。
（i）若：limf(x)?? 則 lim1f(x)?0
(ii)若: limf(x)?0
且
f(x)≠0 lim1f(x)??
例: 求下列極限 ① lim1lim1x??x?5 ②x?1x?1
則4
解: 由 lim(x?5)?? 故 limx??1x?5x???0
由 lim(x?1)?0
故
x?1lim1x?1x?1=?
7、等價(jià)無(wú)窮小代換法
設(shè)?,?',?,?' 都是同一極限過(guò)程中的無(wú)窮小量，且有：
'' ?則 lim??~?,?~?，lim??'' 存在，= lim??'' 也存在，且有l(wèi)im1?cosxxsinx222??
例:求極限lim 解: sinx22x?0
2~x, 1?cosx~(x)222
(x)? lim221?cosxxsinx222x?0=
12?222xx
注： 在利用等價(jià)無(wú)窮小做代換時(shí)，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)可以互換，若以和、差出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過(guò)代換后，往往改變了它的無(wú)窮小量之比的“階數(shù)”
8、利用兩個(gè)重要的極限。
(a)limsinx?1(b)lim(1?1x?0xx)x?ex??
但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：
(a')limsin?(x)?(x)?1,(?(x)?0)
(b')lim(1?1x))?(x)?(?e,(?(x)??)例：求下列函數(shù)極限
x(1)、lima?1(2)、limlncosaxx?0xlncosbx
x?0x?1?u,則 x?ln(1?u)ax 解：（1）令a?1alna 于是x?ulnln(1?u)又當(dāng)x?0時(shí)，u?0x故有：lima?1lnax?0x?limulnau?0ln(1?u)?limlnau?0ln(1?u)?limu?01?lnauln(1?u)u(2)、原式?limln[(1?(cosax?1)]ln[1?(cosbx?1)]
x?0?limln[(1?(cosax?1)]cosbxx?0cosax?1??1cosax?1 ln[1?(cosbx?1)]cosbx?1?limcosbx?1x?0cosax?1
2sin?2sin?limx?02a2x)2x(bx)22?2b2x?limxx?0(a22?2sin2sin(b2?2?2ba2ax(x)222b
x)
9、利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限）。
(i)若f(x)在x?x0處連續(xù)，則(ii)若f[?(x)]是復(fù)合函數(shù)，又f(u)在u?a處連續(xù)，則x?x0x?x0limf(x)?f(x0)x?x0lim?(x)?a且x?x0
limf(?(x))?f[lim?(x)]?f(a)例：求下列函數(shù)的極限
(1)、limecosx?51?x?ln(1?x)2xx?0
（2）
f(x)?ecosx?5xln1(?x)limx?0x
解：由于x?0屬于初等函數(shù)故由函數(shù)的連續(xù)性定義limecosx?51?x?ln(1?x)ln(1?x)x12x1?x?ln(1?x)2的定義域之內(nèi)。有：?f(0)?61x?0
(2)、由?ln(1?x)x令??x??(1?x)x故有：limln(1?x)x11x?0?limln(1?x)x?ln(lim(1?x)x)?lne?1x?0x?010、變量替換法（適用于分子、分母的根指數(shù)不相同 的極限類型）特別地有：
llimxkn?1x?1?mlnk m、n、k、l 為正整數(shù)。
xm?1例：求下列函數(shù)極限 ① lim1?1?nmxxx?1(m、n ?n)②lim(2x?3)
x?1x??2x?1 解: ①令 t=原式=limt?1mnx 則當(dāng)x?1 時(shí) t?1,于是
mn1?t1?t?lim(1?t)(1?t?t????t(1?t)(1?t?t????t22x?12)x?12m?1n?1))t?12?mn
②由于lim(2x?3)=lim(1?x?1x??2x?1x??
令：2x?1?1 則 x?1?1?1
2tt?lim(x??2x?32x?1)x?1=lim(1?x??22x?11t)x?1=lim(1?t)t?0111?t2
=lim(1?t)t?0?lim(1?t)2?e?1?e
t?0
11、利用函數(shù)極限的存在性定理
定理: 設(shè)在x的某空心鄰域內(nèi)恒有 g(x)≤f(x)≤0h(x)且有: limx?x0g(x)?limh(x)?a
x?x0 則極限 lim
x?x0f(x)
存在, 且有
x?x0limf(x)?a
xanx例: 求 limx???(a>1,n>0)解: 當(dāng) x≥1 時(shí),存在唯一的正整數(shù)k,使 k ≤x≤k+1 于是當(dāng) n>0 時(shí)有:
xanx?(k?1)akakn
kank及
xanxn?k?1??1a
又? 當(dāng)x???時(shí),k??? 有 lim(k?1)akaknk????lim(k?1)akankk?1nk????a?0?a?0
及 lim? nk???k?1? lim=0 k????1a?0?1a?0
x???limxanx
12、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限，以及用定義求極限等情形)。定理：函數(shù)極限lim左極限lim x?x0?x?x0f(x)存在且等于a的充分必要條件是
a。即有： f(x)及右極限lim?f(x)都存在且都等于
x?x0
limf(x)?a?limx)=a x?xx?x?f(x)=lim?f(00x?x0?1?2e?x,x?0?例：設(shè)f(x)=??x?x,0?x?1 求limf(x)及l(fā)imf(x)?xx?0x?1??x2,x?1解：?lim?x?f(x)?lim?(1?2e)??1x?0x?0limx)?limx?x)?limx?1)??1x?0?f(x?0?(xx?0?(由limx)?limx)??1x?0?f(x?0?f（?limf(x)??1
x?0又?limx?x?f(x)?lim?lim（x?1)?0x?1x?1?xx?1? lim(x)?lim2?1x?1?f?xx?1
由f(1?0)?f(1?0)?lim?1f(x)不存在x13、羅比塔法則（適用于未定式極限）定理：若
(i)limx?xf(x)?0,limg(x)?00x?x0(ii)f與g在xu0(x'0的某空心鄰域0)內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)?0(iii)limf'(x)x?xg'(x)?a(a可為實(shí)數(shù)，也可為??或?），則
0limf(x)?limf'(x)x?x0g(x)x?xg'(x)?a0此定理是對(duì)00型而言，對(duì)于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。
注：運(yùn)用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
1、要注意條件，也就是說(shuō)，在沒(méi)有化為0,?時(shí)不可
0?求導(dǎo)。
2、應(yīng)用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。
3、要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號(hào)后面的分式，在化簡(jiǎn)以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用羅比塔法則，否則會(huì)引起錯(cuò)誤。
4、當(dāng)limf(x)g(x)''x?a 不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說(shuō)極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。
例： 求下列函數(shù)的極限 ①lime?(1?2x)ln(1?x)2x12x?0 ②lime?(1?2x)?12x12lnxxax???(a?0,x?0)
解：①令f(x)=
f(x)?e?(1?2x)'x, g(x)= ln(1?x)
2, g“'(x)?2x1?x2
2f(x)?e?(1?2x)”x?32,g(x)?2(1?x)(1?x)'22
由于但f “f(0)?f(0)?0,g(0)?g(0)?0”'
(0)?2,g(0)?2
從而運(yùn)用羅比塔法則兩次后得到
lime?(1?2x)ln(1?x)2x12x?0?lime?(1?2x)2x1?x2x?12x?0?lime?(1?2x)2(1?x)(1?x)?222x?32x?0?22?1
② 由lim法則有： x???lnx??,limxx???a?? 故此例屬于?型，由羅比塔1x???limlnxxa?limxaxa?1x????lim1axax????0(a?0,x?0)
14、利用泰勒公式
對(duì)于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō)，應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便，下列為常用的展開(kāi)式：
1、ex?1?x?x22!x3????xnn!?o(x)
n2、sinx?x?3!x2?x55!x4????(?1)n?1x2n?1(2n?1)!n?o(x2n)
3、cosx?1?2!?4!2????(?1)x2n(2n)!?o(x2n?1)
4、ln(1?x)?x?
5、(1?x)
6、11?x?x2????(?1)n?1xnn?o(x)n
n!x?o(x)nn?1??x?2?(??1)2!x???nn2?(??1)?(??n?1)
? 1?x?x????x?o(x)n
上述展開(kāi)式中的符號(hào)o(x)都有:
nlimo(x)x?0xn?0
例:求lima?2x?a?xx(a?0)
x?0解:利用泰勒公式，當(dāng)x?0 有
1?x?1?x2?o(x)
于是 lima?2x?a?x?0x
x=a(1?2xlima?1?xa)?0x
xa??1(2x)?o(x)?1?1?x??=?1lim?2a2ao(x)???0x
x(x)=a?x(x)1lim2a?ox?lim2ax?ox?0x?1
x?02a
15、利用拉格朗日中值定理 定理:若函數(shù)f滿足如下條件：(i)f 在閉區(qū)間上連續(xù)(ii)f 在(a ,b)內(nèi)可導(dǎo) 則在(a ,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?,使得f'(?)?f(b)?f(a)b?a
此式變形可為: f(b)?f(a)b?a?f(a??(b?a))(0???1)'
例: 求 limxe?exsinxx?0x?sinx
解:令f(x)?e 對(duì)它應(yīng)用中值定理得
e?exsinx?f(x)?f(sinx)?(x?sinx)f(sinx??(x?sinx))(0???1)''即: e?exsinxx?sinx'?f(sinx??(x?sinx))(0???1)
?f(x)?e'x連續(xù)
'?limf(sinx??(x?sinx))?f(0)?1
x?0從而有: lime?exsinxx?0x?sinx?1
16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即若: r(x)?p(x)q(x)?a0xmn?a1xm?1n?1????am????bnb0x?b1x(a0?0,b0?0)
(i)當(dāng)x??時(shí)，有
mnm?1n?1limp(x)q(x)x???lima0x?a1x????am????bnx??b0x?b1x?a0? m?n?b?0??????0 m?n??? m?n???????
(ii)當(dāng)x?0 時(shí)有:
①若q(x②若q(x③若q(x0)?0 則 lim0p(x)q(x)x?0?p(x0)q(x0)
p(x)q(x)??)?0 而 p(x0)?0 則lim0
x?0)?0,p(x0)?0,則分別考慮若x0)p1(x)s為p(x)?0的s重根,即:p(x)?(x?x0 也為q(x)?0的r重根,即: q(x)?(x?x0)q1(x)r 可得結(jié)論如下：
?0 , s?r???s?r(x?x0)p1(x)?p1(x0)p(x)?lim?lim?? , s?r? x?x0q(x)x?x0q1(x)?q1(x0)??? ,s?r???例：求下列函數(shù)的極限
①lim(2x?3)20(3x?2)5030x??(2x?1)②limx?3x?2x?4x?343x?1
解: ①分子，分母的最高次方相同，故
lim(2x?3)20(3x?2)5030x??(2x?1)3=
220?350302330?()2
②?p(x)?x4?3x?2,?p(1)?0
?q(x)?x?4x?3,?q(1)?0
?p(x),q(x)必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有: limx?3x?2x?4x?343x?1?lim(x?1)(x?2)(x?1)(x?2x?3)222x?1?limx?2x?2x?32x?1?12
(2)無(wú)理式的情況。雖然無(wú)理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說(shuō)明有理化的方法求極限。
例：求lim解: limx???x???(x?x?x?x?x)
(x?x?x?x?x)
?limx?x?x?x?xx?xx?1x1x3x???x?lim
xx???x?x?1??limx?????1121?1x?
二、多種方法的綜合運(yùn)用
上述介紹了求解極限的基本方法，然而，每一道題目并非只有一種方法。因此我們?cè)诮忸}中要注意各種方法的綜合運(yùn)用的技巧，使得計(jì)算大為簡(jiǎn)化。例:求 lim1?cosxxsinx222x?0
[解法一]: lim1?cosxxsinx222x?0
?lim2xsinx2222x?02x?xcosx?2xsinxsinx2
?limsinx2222x?0xcosx?sinx
?limx22x?0cosx?sinxx22=1
2注:此法采用羅比塔法則配合使用兩個(gè)重要極限法。
[解法二]: lim1?cosxxsinx222x?0=lim2sin2x2x?02?lim22x?0xsinxsinxx22?21sinxx22sin?2?x22?122x2
2注：此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個(gè)重要
極限法。
[解法三]: lim1?cosxxsinx222x?0?lim1?cosxx?x222x?0?lim2xsinx4x32x?02xsinx?lim?2x?04xx2?12
注:此解法利用了兩個(gè)重要極限法配合使用無(wú)窮小代換
法以及羅比塔法則
[解法四]:
(x)lim1?cosxxsinx222x?022?lim1?cosxx42x?0?x22sinx?limx?024x?x22sinx?12
注:此解法利用了無(wú)窮小代換法配合使用兩個(gè)重要極限的方法。
[解法五]: 1?cosxxsinx2222sin?limx?02x2limx?02?lim2?lim242222x?0x(x)x?0xsinxx2(x2)21x4?12
注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無(wú)窮小代換法。
[解法六]： 令u?x 2lim1?cosxxsinx222x?0?limcosu1?cosuusinu?u?0?lim12sinusinu?ucosuu?0
?limu?0cosu?cosu?usinu注：此解法利用變量代換法配合使用羅比塔法則。
[解法七]: lim1?cosxxsinx222x?0?limsinx2222x?0xcosx?sinx?lim11?x22x?0?12
tgx注:此解法利用了羅比塔法則配合使用兩個(gè)重要極限。
(作者: 黃文羊)
高數(shù)極限概念篇四
極限分為 一般極限（發(fā)散的），還有個(gè)數(shù)列極限（前者的一種），解決極限的方法如下 1 等價(jià)無(wú)窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說(shuō)一定在加減時(shí)候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的x次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價(jià)于ax 等等。全部熟記（x趨近無(wú)窮的時(shí)候還原成無(wú)窮?。?/p>
2洛必達(dá) 法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示 要你使用這個(gè)方法）
首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提！必須是 x趨近而不是n趨近！（所以面對(duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點(diǎn) 數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無(wú)窮的 不可能是負(fù)無(wú)窮?。┍仨毷?函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！（假如告訴你g（x）, 沒(méi)告訴你是否可導(dǎo)，直接用無(wú)疑于找死?。┍仨毷?0比0 無(wú)窮大比無(wú)窮大！；當(dāng)然還要注意分母不能為0
洛必達(dá) 法則分為3種情況
（1）0比0 無(wú)窮比無(wú)窮 時(shí)候 直接用 ；（2）0乘以無(wú)窮 無(wú)窮減去無(wú)窮（應(yīng)為無(wú)窮大于無(wú)窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無(wú)窮大都寫(xiě)成了無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后 這樣就能變成1中的形式了；（3）0的0次方 1的無(wú)窮次方 無(wú)窮的0次方
對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來(lái)了，就是寫(xiě)成0與無(wú)窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，lnx兩端都趨近于無(wú)窮時(shí)候他的冪移下來(lái)趨近于0 當(dāng)他的冪移下來(lái)趨近于無(wú)窮的時(shí)候 lnx趨近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余旋 的加減的時(shí)候要 特變注意?。〆的x展開(kāi) sina 展開(kāi) cos 展開(kāi) ln1+x展開(kāi)（對(duì)題目簡(jiǎn)化有很好幫助）
4面對(duì)無(wú)窮大比上無(wú)窮大形式的解決辦法取大頭原則 最大項(xiàng)除分子分母！5無(wú)窮小于有界函數(shù)的處理辦法
面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。（面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來(lái)了！)
6夾逼定理（主要對(duì)付的是數(shù)列極限！）
這個(gè)主要是看見(jiàn)極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。
7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）（q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）
8各項(xiàng)的拆分相加（來(lái)消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）
可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)函數(shù)
9求左右求極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）例如知道xn與xn+1的關(guān)系，已知xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化 10 2 個(gè)重要極限的應(yīng)用。這兩個(gè)很重要！對(duì)第一個(gè)而言是x趨近0時(shí)候的sinx與x比值。地2個(gè)就如果x趨近無(wú)窮大 無(wú)窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式（地2個(gè)實(shí)際上是 用于 函數(shù)是1的無(wú)窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時(shí)候要特別注意可能是用地2 個(gè)重要極限）當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)候，不同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的！
x的x次方 快于 x！快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對(duì)數(shù)函數(shù)（畫(huà)圖也能看出速率的快慢）當(dāng)x趨近無(wú)窮的時(shí)候 他們的比值的極限一眼就能看出來(lái)了換元法 是一種技巧，不會(huì)對(duì)模一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中13假如要算的話 四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒(méi)有辦法 走投無(wú)路的時(shí)候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。
15單調(diào)有界的性質(zhì)對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用 證明單調(diào)性！
16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求極限，一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減麼個(gè)值）加減f（x）的形式，看見(jiàn)了有特別注意
（當(dāng)題目中告訴你f(0)=0時(shí)候 f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候 就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義！?。?/p>
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