2014年湖南高考文科數(shù)學(xué)試題

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2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)

數(shù)學(xué)(文)

一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)命題，則為（）

3.對一個(gè)容器為的總體抽取容量為的樣本，當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為，則（）

4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）

6.若圓與圓相切，則（）

7.執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的屬于（）

A.B.C.D.

8.一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖2所示，將石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（）

A.1B.2C.3D.4

9.若，則（）

A.B.

C.D.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，,，動點(diǎn)滿足,則的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

11.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部等于_________.

12.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)）的普通方程為___________.

13.若變量滿足約束條件，則的最大值為_________.

14.平面上以機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)的距離和到直線的距離相等.若

機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)且斜率為的直線，則的取值范圍是___________.

15.若是偶函數(shù)，則____________.

三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算過程.

16.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列的前項(xiàng)和.

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

17.（本小題滿分12分）

某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)小組往年

研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：

其中分別表示甲組研發(fā)成功和失敗；分別表示乙組研發(fā)成功和失敗.

（I）若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給改組記1分，否記0分，試計(jì)算甲、乙兩組研

發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平；

（II）若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估算恰有一組研發(fā)成功的概率.

18.（本小題滿分12分）

如圖3，已知二面角的大小為，菱形在面內(nèi)，兩點(diǎn)在棱上，，是的中點(diǎn)，面，垂足為.

（1）證明：平面；

（2）求異面直線與所成角的余弦值.

19.（本小題滿分13分）

如圖4，在平面四邊形中，,

（1）求的值；

（2）求的長

20.（本小題滿分13分）

如圖5，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線和橢圓均過點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.

（1）求的方程；

（2）是否存在直線，使得與交于兩點(diǎn)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且證明你的結(jié)論.

21.（本小題滿分13分）

已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）記為的從小到大的第個(gè)零點(diǎn)，證明：對一切，有

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