2017年天津高考文科數(shù)學試題（word版）

2017年天津高考文科數(shù)學試題（word版）

2017年天津高考文科數(shù)學試題難度：（五顆為很難）

2017年高考全國各市試卷及答案解析

2017年天津高考文科數(shù)學試題

絕密啟用前

2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）

數(shù)學（文史類）

本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁。

答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。

祝各位考生考試順利！

第Ⅰ卷

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。

2.本卷共8小題，每小題5分，共40分。

參考公式：

·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．

·棱柱的體積公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱的高．

·球的體積公式.其中表示球的半徑.

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

（1）設集合，則

（A）（B）（C）（D）

（2）設，則“”是“”的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

（3）有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為

（A）（B）（C）（D）

（4）閱讀右面的程序框圖，運行相應的程序，若輸入的值為19，則輸出的值為

（A）0（B）1（C）2（D）3

（5）已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點），則雙曲線的方程為

（A）（B）（C）（D）

（6）已知奇函數(shù)在上是增函數(shù).若，則的大小關系為

（A）（B）（C）（D）

（7）設函數(shù)，其中.若且的最小正周期大于，則

（A）（B）（C）（D）

（8）已知函數(shù)設，若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是

（A）（B）（C）（D）

第Ⅱ卷

注意事項：

1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。

2．本卷共12小題，共110分。

二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

（9）已知，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為.

（10）已知，設函數(shù)的圖象在點（1，）處的切線為l，則l在y軸上的截距為.

（11）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為.

（12）設拋物線的焦點為F，學科&網(wǎng)準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若，則圓的方程為.

（13）若a，，，則的最小值為.

（14）在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，則的值為.

三.解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

（15）（本小題滿分13分）

在中，內角所對的邊分別為.已知，.

（I）求的值；

（II）求的值.

（16）（本小題滿分13分）

電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：

連續(xù)劇播放時長（分鐘）廣告播放時長（分鐘）收視人次（萬）

甲70560

乙60525

已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用，學&科網(wǎng)表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).

（I）用，列出滿足題目條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；

（II）問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多

（17）（本小題滿分13分）

如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.

（I）求異面直線與所成角的余弦值；

（II）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

（18）（本小題滿分13分）

已知為等差數(shù)列，前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，

.

（Ⅰ）求和的通項公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和.

（19）（本小題滿分14分）

設，.已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求的單調區(qū)間；

（Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，

（i）求證：在處的導數(shù)等于0；

（ii）若關于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求b的取值范圍.

（20）（本小題滿分14分）

已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標為，的面積為.

（I）求橢圓的離心率；

（II）設點在線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.

（i）求直線的斜率；

（ii）求橢圓的方程.

2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）答案

（1）B（2）B（3）C（4）C

（5）D（6）C（7）A（8）A

（9）2（10）1（11）

（12）（13）4（14）

（15）（Ⅰ）解：由，及，得.

由，及余弦定理，得.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.

由（Ⅰ）知，A為鈍角，所以.于是，

，故

16.（Ⅰ）解：由已知，滿足的數(shù)學關系式為即

該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分：

（Ⅱ）解：設總收視人次為萬，則目標函數(shù)為.

考慮，將它變形為，這是斜率為，隨變化的一族平行直線.為直線在軸上的截距，當取得最大值時，的值最大.又因為滿足約束條件，所以由圖2可知，當直線經過可行域上的點M時，截距最大，即最大.

解方程組得點M的坐標為.

所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多.

（17）本小題主要考查兩條異面直線所成的角、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.滿分13分.

（Ⅰ）解：如圖，由已知AD//BC，學|科網(wǎng)故或其補角即為異面直線AP與BC所成的角.因為AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.

所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為.

（Ⅱ）證明：因為AD⊥平面PDC，直線PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因為BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.

（Ⅲ）解：過點D作AB的平行線交BC于點F，連結PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.

因為PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以為直線DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.

所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.

18.（Ⅰ）解：設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由已知，得，而，所以.又因為，解得.所以，.

由，可得.由，可得，聯(lián)立①②，解得，由此可得.

所以，的通項公式為，的通項公式為.

（Ⅱ）解：設數(shù)列的前項和為，由，有

上述兩式相減，得

得.

所以，數(shù)列的前項和為.

19.【解析】（I）由，可得

，

令，解得，或.由，得.

當變化時，，的變化情況如下表：

所以，的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為.

（II）（i）因為，由題意知，

所以，解得.

所以，在處的導數(shù)等于0.

（ii）因為，，由，可得.

又因為，，故為的極大值點，由（I）知.

另一方面，由于，故，

由（I）知在內單調遞增，在內單調遞減，

故當時，在上恒成立，從而在上恒成立.

由，得，.

令，，所以，

令，解得（舍去），或.

因為，，，故的值域為.

所以，的取值范圍是.

（20）（Ⅰ）解：設橢圓的離心率為e.由已知，可得.又由，可得，即.又因為，解得.

所以，橢圓的離心率為.

（Ⅱ）（?。┮李}意，設直線FP的方程為，則直線FP的斜率為.

由（Ⅰ）知，可得直線AE的方程為，即，與直線FP的方程聯(lián)立，可解得，即點Q的坐標為.

由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直線FP的斜率為.

（ii）解：由，可得，故橢圓方程可以表示為.

由（i）得直線FP的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得，解得（舍去），學.科網(wǎng)或.因此可得點，進而可得，所以.由已知，線段的長即為與這兩條平行直線間的距離，故直線和都垂直于直線.

因為，所以，所以的面積為，同理的面積等于，由四邊形的面積為，得，整理得，又由，得.

所以，橢圓的方程為.

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