2017年高考數學必考知識點：方差

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高中數學知識點之方差定義

方差用來度量隨機變量和其數學期望(即均值)之間的偏離程度。統(tǒng)計中的方差(樣本方差)是各個數據分別與其平均數之差的平方的和的平均數。

高中數學知識點之方差性質

1.設C為常數，則D(C)=0(常數無波動);

2.D(CX)=C2D(X)(常數平方提取);

3.若X、Y相互獨立，則前面兩項恰為D(X)和D(Y)，第三項展開后為

當X、Y相互獨立時，，故第三項為零。

獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。

方差公式：

平均數：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n

(n表示這組數據個數，x1、x2、x3……xn表示這組數據具體數值)

高中數學知識點之方差的應用

計算下列一組數據的極差、方差及標準差(精確到0.01).

50，55，96，98，65，100，70，90，85，100.

答：極差為

100-50=50.

平均數為

一．方差的概念與計算公式

例1 兩人的5次測驗成績如下：

X: 50，100，100，60，50 E（X ）=72；

Y: 73， 70， 75，72，70 E（Y ）=72.

平均成績相同，但X 不穩(wěn)定，對平均值的偏離大。

方差描述隨機變量對于數學期望的偏離程度。

單個偏離是

消除符號影響

方差即偏離平方的均值，記為D（X ）：

直接計算公式分離散型和連續(xù)型，具體為：

這里 是一個數。推導另一種計算公式

得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。

其中，分別為離散型和連續(xù)型計算公式。 稱為標準差或均方差，方差描述波動

二．方差的性質

1.設C為常數，則D（C） = 0（常數無波動）；

2. D（CX ）=C2 D（X ） （常數平方提?。?；

證：

特別地 D（-X ） = D（X ）， D（-2X ） = 4D（X ）（方差無負值）

3.若X 、Y 相互獨立，則

證：

記則前面兩項恰為 D（X ）和D（Y ），第三項展開后為

當X、Y 相互獨立時，故第三項為零。

特別地獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。

方差公式：

平均數：M=（x1+x2+x3+…+xn）/n （n表示這組數據個數，x1、x2、x3……xn表示這組數據具體數值）

三．常用分布的方差

1.兩點分布

2.二項分布

X ~ B （ n， p ）

引入隨機變量 Xi （第i次試驗中A 出現(xiàn)的次數，服從兩點分布）

3.泊松分布（推導略）

4.均勻分布

另一計算過程為

5.指數分布（推導略）

6.正態(tài)分布（推導略）

7.t分布 ：其中X~T（n），E（X）=0；D（X）=n/（n-2）；

8.F分布：其中X~F（m，n），E（X）=n/（n-2）；

正態(tài)分布的后一參數反映它與均值 的偏離程度，即波動程度（隨機波動），這與圖形的特征是相符的。

例2 求上節(jié)例2的方差。

解 根據上節(jié)例2給出的分布律，計算得到

工人乙廢品數少，波動也小，穩(wěn)定性好。

方差的定義：

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