2017年高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)：平面向量

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平面向量是在二維平面內(nèi)既有方向又有大小的量，物理學(xué)中也稱作矢量，與之相對(duì)的是只有大小、沒有方向的數(shù)量。平面向量用a,b,c上面加一個(gè)小箭頭表示，也可以用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示。下面是高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)平面向量解析，供參考。

一、高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)平面向量概念：

(1)向量：既有大小又有方向的量。向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小。

(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行。

(3)單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

二、高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)平面向量數(shù)量積解析

1、平面向量數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a、b，那么|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a·b。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。數(shù)量積a·b的幾何意義是：a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2

2、平面向量數(shù)量積具有以下性質(zhì)：

1、a·a=|a|2≥0

2、a·b=b·a

3、k(a·b)=(ka)b=a(kb)

4、a·(b+c)=a·b+a·c

5、a·b=0<=>a⊥b

6、a=kb<=>a//b

7、e1·e2=|e1||e2|cosθ

三、高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)平面向量加法解析

已知向量AB、BC，再作向量AC，則向量AC叫做AB、BC的和，記作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

注：向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律，如：交換律、結(jié)合律。

四、高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)平面向量減法解析

1、AB-AC=CB，這種計(jì)算法則叫做向量減法的三角形法則，簡(jiǎn)記為：共起點(diǎn)、指被減。

-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。

五、平面向量公式匯總

1、定比分點(diǎn)

定比分點(diǎn)公式(向量P1P=λ向量PP2)

設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù) λ，使 向量P1P=λ向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點(diǎn)向量公式)

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式)

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式

2、三點(diǎn)共線定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線

三角形重心判斷式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心

[編輯本段]向量共線的重要條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。

a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[編輯本段]向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是 ab=0。

a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.

設(shè)a=(x，y)，b=(x'，y')。

3、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a;

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

4、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0

AB-AC=CB. 即“共同起點(diǎn)，指向被減”

a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').

5、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a同方向;

當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反方向;

當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮。

當(dāng)∣λ∣>1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長(zhǎng)為原來的∣λ∣倍;

當(dāng)∣λ∣<1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

向量對(duì)于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

6、向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作ab。若a、b不共線，則ab=|a||b|cos〈a，b〉;若a、b共線，則ab=+-∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ab=xx'+yy'。

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

ab=ba(交換律);

(λa)b=λ(ab)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);

(a+b)c=ac+bc(分配律);

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

aa=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉ab=0。

|ab|≤|a||b|。

7、向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

（1）向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2。

（2）向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。

（3）|ab|≠|(zhì)a||b|

（4）由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

8、向量的向量積

定義：兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

（1）向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

（2）向量的向量積運(yùn)算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

（3）向量的三角形不等式

∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào);

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào)。

∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào);

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào)。

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