2016年高考數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)精講

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1.高考數(shù)學(xué)數(shù)列易錯(cuò)考點(diǎn)

用錯(cuò)基本公式致誤

錯(cuò)因分析：等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1、公差為d，則其通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，前n項(xiàng)和公式Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2;等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1、公比為q，則其通項(xiàng)公式an=a1pn-1，當(dāng)公比q≠1時(shí)，前n項(xiàng)和公式Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，當(dāng)公比q=1時(shí)，前n項(xiàng)和公式Sn=na1。在數(shù)列的基礎(chǔ)性試題中，等差數(shù)列、等比數(shù)列的這幾個(gè)公式是解題的根本，用錯(cuò)了公式，解題就失去了方向。

an，Sn關(guān)系不清致誤

錯(cuò)因分析：在數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列的通項(xiàng)an與其前n項(xiàng)和Sn之間存在關(guān)系：

這個(gè)關(guān)系是對(duì)任意數(shù)列都成立的，但要注意的是這個(gè)關(guān)系式是分段的，在n=1和n≥2時(shí)這個(gè)關(guān)系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是高考數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常出錯(cuò)的一個(gè)地方，在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)要牢牢記住其“分段”的特點(diǎn)。

當(dāng)題目中給出了數(shù)列{an}的an與Sn之間的關(guān)系時(shí)，這兩者之間可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，知道了an的具體表達(dá)式可以通過(guò)數(shù)列求和的方法求出Sn，知道了Sn可以求出an，解題時(shí)要注意體會(huì)這種轉(zhuǎn)換的相互性。

對(duì)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)理解錯(cuò)誤

錯(cuò)因分析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和在公差不為0時(shí)是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)。

一般地，有結(jié)論“若數(shù)列{an}的前N項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=0”;在等差數(shù)列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N*)是等差數(shù)列。

解決這類(lèi)高考數(shù)學(xué)題目的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)就是考慮問(wèn)題要全面，把各種可能性都考慮進(jìn)去，認(rèn)為正確的命題給以證明，認(rèn)為不正確的命題舉出反例予以駁斥。在等比數(shù)列中公比等于-1時(shí)是一個(gè)很特殊的情況，在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意這個(gè)特殊情況。

數(shù)列中的最值錯(cuò)誤

錯(cuò)因分析：高考數(shù)學(xué)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)，要善于從函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)認(rèn)識(shí)和理解數(shù)列問(wèn)題。

但是考生很容易忽視n為正整數(shù)的特點(diǎn)，或即使考慮了n為正整數(shù)，但對(duì)于n取何值時(shí)，能夠取到最值求解出錯(cuò)。在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點(diǎn)要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)近而定。

錯(cuò)位相減求和時(shí)項(xiàng)數(shù)處理不當(dāng)致誤

錯(cuò)因分析：錯(cuò)位相減求和法的適用環(huán)境是：數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積所組成的，求其前n項(xiàng)和?；痉椒ㄊ窃O(shè)這個(gè)和式為Sn，在這個(gè)和式兩端同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比得到另一個(gè)和式，這兩個(gè)和式錯(cuò)一位相減，得到的和式要分三個(gè)部分：

(1)原來(lái)數(shù)列的第一項(xiàng);

(2)一個(gè)等比數(shù)列的前(n-1)項(xiàng)的和;

(3)原來(lái)數(shù)列的第n項(xiàng)乘以公比后在作差時(shí)出現(xiàn)的。在用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和時(shí)一定要注意處理好這三個(gè)部分，否則就會(huì)出錯(cuò)。

2.高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)例題精講

一、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式，求an時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論的應(yīng)用，特別是在利用an=Sn-Sn-1進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，要注意分n=1和n≥2兩種情況進(jìn)行討論，學(xué)生特別是容易忽視要檢驗(yàn)n=1是否也適合an.

例: 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2-2n+1，求其通項(xiàng)公式

解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3×12-2×1+1=2;

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5，顯然當(dāng)n=1時(shí)，不滿(mǎn)足上式.

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=

二、在等比數(shù)列求和公式中要注意分兩種情況q=1和q≠1討論。

例2： 設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，若S3=3a3，求公比q

解析當(dāng)q≠1時(shí)，S3==a1(1+q+q2)=3a1q2，即2q2-q-1=0，解得q=-或q=1(舍去).當(dāng)q=1時(shí)，S3=a1+a2+a3=3a3也成立.

三、在解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)，及時(shí)準(zhǔn)確地“數(shù)清”數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是必不可少的，在數(shù)項(xiàng)數(shù)時(shí)，要把握數(shù)列的項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律，找準(zhǔn)高考數(shù)學(xué)數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)并找準(zhǔn)項(xiàng)數(shù).如果把數(shù)列的項(xiàng)數(shù)弄錯(cuò)了，將會(huì)前功盡棄.

例3：設(shè)f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N*)，則f(n)等于().

A.(8n-1) B.(8n+1-1)

C.(8n+3-1) D.(8n+4-1)

解：2,24,27,210，…為首項(xiàng)a1=2，公比q=23的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，得f(n)==(8n+4-1).

四、在高考數(shù)學(xué)解題中對(duì)出現(xiàn)的各種情況要考慮全面.

例4：已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=試求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

解當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

Sn=(a1+a3+a5+…+an-1)+(a2+a4+a6+…+an)

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

Sn=(a1+a3+a5+…+an)+(a2+a4+…+an-1)

∴Sn=

五、利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，應(yīng)注意兩邊乘以公比后，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的冪指數(shù)會(huì)發(fā)生變化，為避免出錯(cuò)，應(yīng)將相同冪指數(shù)的項(xiàng)對(duì)齊，這樣有一個(gè)式子前面空出一項(xiàng)，另外一個(gè)式子后面就會(huì)多了一項(xiàng)，兩式相減，除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，剩下的n-1項(xiàng)是一個(gè)等比數(shù)列.

例： 已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=，公比q=的等比數(shù)列，設(shè)bn+2=3logan(n∈N*)，數(shù)列{cn}滿(mǎn)足cn=an·bn.

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.

解(1)由題意，知an=n(n∈N*)，

又bn=3logan-2，∴bn=3n-2(n∈N*).

(2)由(1)，知an=n(n∈N*)，bn=3n-2(n∈N*)，

∴cn=(3n-2)×n(n∈N*).

∴Sn=1×+4×2+7×3+…+(3n-5)×n-1+(3n-2)×n，

于是Sn=1×2+4×3+7×4+…+(3n-5)×n+(3n-2)×n+1，

兩式相減，得

Sn=+3-(3n-2)×n+1=-(3n+2)×n+1，

∴Sn=-×n(n∈N*).

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