2017年高考數學必考知識點：對數及對數函數

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高考數學所考的知識點比較多，為了方便同學們更好、更準高效學習高中數學，學分網小編整理了高考數學必考知識點：對數及對數函數，供參考。

高考數學必考知識點：對數定義

如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x=logaN。其中，a叫做對數的底數，N叫做真數。

注：1、以10為底的對數叫做常用對數，并記為lg。

2、稱以無理數e(e=2.71828...)為底的對數稱為自然對數，并記為ln。

3、零沒有對數。

4、在實數范圍內，負數無對數。在復數范圍內，負數是有對數的。

高考數學必考知識點：對數公式

高考數學必考知識點：對數函數定義

一般地，函數y=logax(a>0，且a≠1)叫做對數函數，也就是說以冪(真數)為自變量，指數為因變量，底數為常量的函數，叫對數函數。

其中x是自變量，函數的定義域是(0，+∞)。它實際上就是指數函數的反函數，可表示為x=ay。因此指數函數里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數函數。

高考數學必考知識點：對數函數性質

定義域求解：對數函數y=logax的定義域是{x丨x>0}，但如果遇到對數型復合函數的定義域的求解，除了要注意大于0以外，還應注意底數大于0且不等于1，如求函數y=logx(2x-1)的定義域，需同時滿足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定義域為{x丨x>1/2且x≠1}

值域：實數集R，顯然對數函數無界。

定點：函數圖像恒過定點(1，0)。

單調性：a>1時，在定義域上為單調增函數;

奇偶性：非奇非偶函數

周期性：不是周期函數

對稱性：無

最值：無

零點：x=1

注意：負數和0沒有對數。

兩句經典話：底真同對數正,底真異對數負。解釋如下：

也就是說：若y=logab (其中a>0,a≠1，b>0)

當a>1,b>1時，y=logab>0;

當01時，y=logab<0;

當a>1,0

對數的基本性質及推導過程

基本性質：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(a^b)=b

3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

推導

1、因為n=log(a)(b)，代入則a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、因為a^b=a^b

令t=a^b

所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

3、MN=M×N

由基本性質1(換掉M和N)

a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)

由指數的性質

a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

兩種方法只是性質不同,采用方法依實際情況而定

又因為指數函數是單調函數，所以

log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

4、與（3）類似處理

MN=M÷N

由基本性質1(換掉M和N)

a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

由指數的性質

a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

又因為指數函數是單調函數，所以

log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

5、與（3）類似處理

M^n=M^n

由基本性質1(換掉M)

a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

由指數的性質

a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

又因為指數函數是單調函數，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

基本性質4推廣

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推導如下：

由換底公式（換底公式見下面）[lnx是log(e)(x)，e稱作自然對數的底]

log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

換底公式的推導：

設e^x=b^m,e^y=a^n

則log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

x=ln(b^m),y=ln(a^n)

得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性質4可得

log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由換底公式

log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

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