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高等數(shù)學(xué)上冊知識點 高等數(shù)學(xué)上冊題庫及答案篇一
1、注意幾個特殊函數(shù)：符號函數(shù)，取整函數(shù)，狄利克雷函數(shù)；這些函數(shù)通常用于判斷題中的反例
2、注意無界函數(shù)的概念
3、了解常用函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)（特別是大家不太熟悉的反三角函數(shù)）第二節(jié) 數(shù)列的極限 會判斷數(shù)列的斂散性 第三節(jié) 函數(shù)的極限
1、函數(shù)極限存在的充要條件：左右極限存在并相等。（重要）
2、水平漸近線的概念，會求函數(shù)的水平漸近線（p37）。（重要）
3、了解函數(shù)極限的局部有界性、局部保號性。第四節(jié) 無窮大和無窮小
1、無窮小和函數(shù)極限的關(guān)系：limf(x)?a?f(x)?a??，其中?是無窮小。
x?x0x??
2、無窮大和無窮小是倒數(shù)關(guān)系
3、鉛直漸近線的概念（p41）, 會求函數(shù)的鉛直漸近線
4、無界與無窮大的關(guān)系：無窮大一定無界，反之不對。
5、極限為無窮大事實上意味著極限不存在，我們把它記作無窮大只是為了描述函數(shù)增大的這種狀態(tài) 第五節(jié) 極限的運算法則
1、極限的四則運算法則：兩個函數(shù)的極限都存在時才能用。以乘法為例比如f(x)?x,g(x)?但是limf(x)?g(x)?1
x?01。limf(x)?0，limg(x)??。xx?0x?02、會求有理分式函數(shù)
p(x)的極限（p47 例3-例7）（重要）q(x)x?x0時:若分母q(x0)?0，則極限為函數(shù)值
0型極限，約去公因子 0 若只是分母為零，則極限為無窮大。（p75頁9（1））
x??時，用抓大頭法，分子、分母同時約去x的最高次冪。第六節(jié) 極限存在的準(zhǔn)則，兩個重要極限（重要）
1、利用夾逼準(zhǔn)則求極限： 例 p56也習(xí)題4（1）（2），及其中考試題（b）卷第三題（1）
2、利用兩個重要極限求其他的極限（p56習(xí)題2）
1sinxsinx?0；lim?1 3 注意下面幾個極限：limxsin?0；limx?0x??x?0xxx第七節(jié) 無窮小的比較（重要）
1、會比較兩個無窮之間的關(guān)系（高階、低階、同階，k 階還是等價窮小）若分子和分母同時為零，則為
x22、常見的等價無窮小：sinx,tanx,arcsinx~x；1?cosx~
2ex?1~x；(1?x)~1nx n13、若?(x)為無窮小，則sin?(x)~?(x)，(1??(x))n~?(x)n，ln(1??(x))~?(x)，e?(x)?1~?(x)。
4、替換無窮小時必須是因式
x?0limtanx?sinxx3?limx?x3x?0x?0
應(yīng)該
x2xtanx?sinxtanx(1?cosx)1lim?lim?lim2?
2x?0x?0x?0x3x3x35、會利用等價無窮小計算極限（p60頁習(xí)題4）
第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點（重要）
1、函數(shù)在點x0連續(xù) ?limf(x)?f(x0)
x?x0?左連續(xù)limf(x)?f(x0)且
x?x?0f(x)?f(x0)
右連續(xù)lim?x?x02、會判斷間斷點及其類型。討論分段函數(shù)的連續(xù)性。
3、f(x)在點a連續(xù)?f(x)在點a連續(xù)；但反之不對。
第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性
初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)的，因而求某點處極限時可以直接把點代入求值。
4.注意三個例題：例6-例8（重要）
5、冪指函數(shù)u(x)v(x)求極限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)來求。（重要）
6、若含有根式，則分子或者分母有理化（p75頁9（2））是求極限的一種重要方法。（重要）
7、利用分段函數(shù)的連續(xù)性求未知數(shù)的值（如p70頁 6）（重要）第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
最大值最小值定理、零點定理、介值定理的內(nèi)容 會零點定理證明方程根的存在性。（重要）補充說明 請熟悉函數(shù)e當(dāng)x?0?,x?0?,x??時的極限。第二章復(fù)習(xí)提要
1、導(dǎo)數(shù)的定義
（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些極限的值：例如p86頁第6題 例
1、設(shè)f(0)?0,f?(0)?k0,則limf(x)?____.x?0x1x例
2、設(shè)f?(x0)存在，則limf(x0?h)?f(x0)?________.（重要）
hh?0（2）利用左右導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的可導(dǎo)性：p125頁第7題
?sinx,x?0例
3、已知f(x)??，求f?(x)
?x,x?0注意分點處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該用定義來求。（重要）
（3）利用左右導(dǎo)數(shù)求未知數(shù)的值：p87頁第17題（重要）
?sinx,x?0例
4、設(shè)f(x)??為可導(dǎo)的，求a的值
ax,x?0?（4）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線和法線方程（重要）
（5）可導(dǎo)?連續(xù)，反之不成立！
2、求導(dǎo)法則
（1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)不要掉項；
（2）冪指函數(shù)u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)轉(zhuǎn)化成指數(shù)來求導(dǎo)
3、高階導(dǎo)數(shù)
（1）一般的函數(shù)求到2階即可；（2）幾個初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：
??(eax)(n)?aneax；y(n)?sin(x?n)；(cosx)(n)?cos(x?n)
22[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)n，(n?1)!(1?x)n[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(?1)n(n?1)!(1?x)n??
由上面的求導(dǎo)公式我們?nèi)菀淄瞥鱿铝星髮?dǎo)公式：
1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?(?1)nn?11?x(1?x)1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?n?11?x(1?x)(1(n)n!)?[ln(a?x)](n?1)?(?1)nn?1a?x(a?x)1(n)n!)?[ln(1?x)](n?1)?n?1a?x(a?x)((3)二項式定理
(uv)(n)(n?k)(k)??ckuv nk?0n（4）間接法求高階導(dǎo)數(shù)：
1?x2例
5、求y?的n階導(dǎo)數(shù)：提示y??1?。
1?x1?x（5）注意下列函數(shù)的求導(dǎo)
例
6、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：p103頁第3題（重要）（1）y?f(x2)；（2）y?ln[f(x)]
4、隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)（重要）（1）一般方法，兩邊對x球到后解出
dy。dx（2）會求二階導(dǎo)數(shù)
（3）對數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù)和連乘或連除的函數(shù)（4）注意參數(shù)方程二階導(dǎo)數(shù)的公式
dydyd()2()?tdydtdx。（重要）??dxdx2dtdxdxdt（5）相關(guān)變化率問題：
根據(jù)題意給出變量x和y之間的關(guān)系；
?
兩邊對t（或者是其他變量）求導(dǎo)
?
dydx和之間的關(guān)系，已知其中一個求另外一個。dtdt5、函數(shù)的微分
（1）微分與可導(dǎo)的關(guān)系：可微?可導(dǎo)且dy?f?(x)dx（2）利用微分的形式不變性求隱函數(shù)或顯函數(shù)的微分： 顯函數(shù)的例子見課本的例題；下面給出隱函數(shù)的例子 例
7、設(shè)ysinx?cos(x?y)?0,求dy。解: 利用一階微分形式不變性 , 有
d(ysinx)?d(cos(x?y))?0
sinxdy?ycosxdx?sin(x?y)(dx?dy)?0
dy?ycosx?sin(x?y)dx。
sin(x?y)?sinx（3）近似計算公式：注意x0的選取原則。(一般不會考)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)
第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)提要 3.1 微分中值定理（重要）
羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理應(yīng)用： 證明等式，一般通過證明導(dǎo)數(shù)為零
證明不等式：若不等式中不含x，則取x作為輔助函數(shù)的自變量；若含有x，則取t作為輔助函數(shù)的自變量。（重要）
判斷方程的根（存在性用零點定理，唯一性或判斷根的個數(shù)用中值定理，有時還要結(jié)合單調(diào)性，見153也習(xí)題6）（重要）
利用輔助函數(shù)和中值定理證明等式（一個函數(shù)用拉格朗日，二個用柯西）例1 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)?0，證明至少存在一點??(0,1)使得f?(?)??2f(?)?。
證明：上述問題等價于?f?(?)?2f(?)?0。
令f(x)?x2f(x)，則f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理條件，于是少存在一點??(0,1)使得
??(?)?2?f(?)??2f?(?)?0 即有?f?(?)?2f(?)?0。
（5）請熟悉132頁例1.3.2 洛必達法則（重要）
（1）(其他類型的未定式)最終轉(zhuǎn)化成0?型和型未定式 0?（2）每次用前需判斷
（3）結(jié)合等價無窮小效果更佳。3.3 泰勒公式
（1）一般方法：求各階導(dǎo)數(shù)代入公式即可；
（2）常見函數(shù)ex,ln(1?x)，sinx,cosx的麥克勞林公式 3.4 函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性（1）會用列表法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間（注意一般是閉區(qū)間），拐點。注意不要漏掉導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是單調(diào)區(qū)間的分點； 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是拐點。（2）利用單調(diào)性證明不等式（重要）（3）利用單調(diào)性判斷方程的根（重要）3.5 極值和最值（重要）
（1）列表法求極值（極值可能點為駐點或不可導(dǎo)點）（2）最值（找出極值可能點再與端點比較）
（3）對于時間問題，若極值點唯一，則也為最值點。3.6 函數(shù)圖形的描繪 注意漸近線 3.7 曲率
（1）弧微分公式
（2）曲率和曲率半徑的計算公式（重要）第四章復(fù)習(xí)提要
4.1 不定積分的概念和性質(zhì)
1、基本積分表
?
2、公式?f(x)dx?f(x)和?f?(x)dx?f(x)?c ??
3、注意如下問題：（填空、選擇、判斷）若e?x是f(x)的原函數(shù)，則?x2f(lnx)dx??若f(x)是e?x的原函數(shù)，則?12x?c 2f(lnx)1dx? ?c0lnx?c xx若f(x)的導(dǎo)數(shù)為sinx，則f(x)的一個原函數(shù)是（b）。a 1?sinx;b 1?sinx;c 1?cosx;d 1?cosx
4.2 換元積分法（重要）
1、第一換元法的原理：?g(x)dx
把被積函數(shù)g(x)湊成g(x)?f(?(x))??(x)的形式，因而這種方法也稱為湊微分法。
2、一些規(guī)律： ①?f(x)1xdx?2?f(x)(x)??2?f(x)dx
11?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b)
a?a?②?f(ax?b)dx?1③?f(lnx)dx??f(lnx)(lnx)?dx??f(lnx)d(lnx)
x④?sin(2k?1)xcosnxdx??sin2kxcosnxsinxdx???(1?cos2x)cosnxdcosx ⑤?cos(2k?1)kxsinxdx??cosxsinxcosxdx??(1?sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：?sin(2k?1)xdx和?cos(2k?1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥?sin2kxcos2nxdx用公式sin2x?⑦?tanxsecn2k?2n2k1?cos2x1?cos2x和cos2x?降次。22n2kxdx??tanxsecxdtanx??tanx(1?tanx)dtanx
注?sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形
⑧?csc2k?2xdx??csc2kxcsc2xdx???(1?cot2x)dcotx
⑨?tan(2k?1)xsecnxdx??tan2kxsecn?1xdsecx??(sec2x?1)secn?1xdsecx ⑩利用積化和差公式：
1cosacosb?[cos(a?b)?cos(a?b)]
21sinacosb?[sin(a?b)?sin(a?b)]
21cosasinb?[sin(a?b)?sin(a?b)]
21sinasinb?[cos(a?b)?cos(a?b)]
2第二換元法
被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?asint,t?(?被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?atant,t?(?kk??,)22,)22??被積函數(shù)中含有x2?a2，利用代換x?asect,t?(0,?)（一般要分情況討論）被積函數(shù)為分式，分母次數(shù)比分子次數(shù)高，到代換 利用下列積分公式：
⒃?tanxdx??ln|cosx|?c；⒄?cotxdx?ln|sinx|?c
⒅?secxdx?ln|secx?tanx|?c；⒆?cscxdx?ln|cscx?cotx|?c ⒇?dx1xdx1x?a?arctan?c；（21）?ln?x2?a22ax?a?c aa2?x2a（22）?xdx?arcsin?c；?ln(x?a2?x2)?c（23）?ax2?a2a2?x2dx（24）?dxx2?a2?lnx?x2?a2?c
4.3 分部積分法（重要）
1、分部積分公式：?udv?uv??vdu
2、u的選取原則：反?對?冪?指?三。
這個原則不是絕對的，如通常?exsinxdx??sinxdex。
3、如果遇到反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的高次冪，通常先換元更容易算。如?(arcsinx)2dxarcsinx?t?t2dsint；
ln2x2?ttdxlnx?t?edt ?x2遇到根式ax?b，先令t?ax?b去根號。會做形如例7、8那樣具有典型特點的題目。
4.4 有理函數(shù)的積分（重要）
1、p(x)，先用多項式除法化成真分式； q(x)p(x)的分解式： q(x)
2、對q(x)分解因式，根據(jù)分解結(jié)果用待定系數(shù)法確定x?1x?1ab??：應(yīng)設(shè)
(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)x?2x?3 ?x?2x?2abx?c：應(yīng)設(shè) ???(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)x?2x?2abx3?cx2?dx?e?(2x?1)(x2?x?1)2：應(yīng)設(shè)(2x?1)(x2?x?1)?(2x?1)?(x2?x?1)2
原則就是分子的次數(shù)總是要比分母低一次。
3、三角函數(shù)可以通過如下?lián)Q元法轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分
xxx2tan1?tan22tan2；cosx?2；tanx?2 sinx?xxx1?tan21?tan21?tan2222x令tan?t，則三角函數(shù)就轉(zhuǎn)化成為有理函數(shù)
24.被積函數(shù)含有nax?b或nax?bcx?d，則令t?nax?b或t?nax?bcx?d 幾個典型題目 p207頁（42）?x?1dxdx，（43）?x?1?x2p211頁例7、8 x2?2x?3補充說明：這一章的內(nèi)容需要大家在掌握一定規(guī)律的前提下多做練習(xí)，方能取得比較好的效果 第五章：定積分
5.1 定積分的概念和性質(zhì)
1、定積分的定義：?f(x)dx?lim?f(?i)?xi
abni??02、定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積
3、定積分的性質(zhì)：利用定積分的性質(zhì)判斷積分的取值范圍或比較兩個積分的大?。╬235,10,13）(重要)5.2 微積分基本公式
1、y?f(x),a?x?b的積分上限的函數(shù)（重要）
?(x)??xaf(t)dt,a?x?b
及其導(dǎo)數(shù)：（如p243,5題）（1）??(x)?f(x)
d?(x)f(t)dt?f(?(x))??(x)?adxda（3）?f(t)dt??f(?(x))??(x)
dx?(x)d?(x)（4）?f(t)dt?f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)
dx?(x)
2、利用上面的公式計算極限、判斷函數(shù)單調(diào)性等： 相應(yīng)例題（p242,例7，8），相應(yīng)習(xí)題（p243-244:習(xí)題9，12，12，14）（重要）（2）
3、牛頓-萊布尼茨公式：函數(shù)f(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則
?baf(x)dx?f(b)?f(a)，記作[f(x)]a或f(x)bba
注意：分段函數(shù)(或者帶絕對值的函數(shù))的積分應(yīng)為分段積分的和：典型題目p244，習(xí)題10.5.3 定積分的換元法和分布積分法（重要）
1、第一換元公式：?f[?(x)]??(x)dt??f(t)dt
ab??
2、第二還原公式：?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt
ab??注意：一般來說應(yīng)用第一換元公式，我們一般不需要把新變量寫出來，因而也就
?cos?2不需要寫出新變量的積分限，如?cossinxdx??? 但是應(yīng)用第二換元?。
3??0公式，一般要寫出新變量及其積分限，如
202??3?a??asinta2?x2dx(a?0)?x???a2?2cos2tdt
003、分布積分公式：?u(x)dv(x)??u(x)v(x)?a??v(x)du(x)
baabb說明：無論是還原法還是分布積分法，定積分和不定積分的計算過程都是相似的。
4、利用下面的公式能幫助我們簡化計算：（重要）（1）偶倍寄零
?0?0（2）?2f(sinx)dx??2f(cosx)dx（3）?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）
（4）設(shè)f(x)是周期為t的連續(xù)函數(shù)：則
?a?taf(x)dx??f(x)dx；?0ta?ntaf(x)dx?n?f(x)dx(n?n).(p249，例7，p253，0t1(26))
5、形如例9這樣的積分。5.4 反常積分
1、無窮限的反常積分：設(shè)f(x)是f(x)的原函數(shù)，引入記號
f(??)?limf(x);f(??)?limf(x)
x???x???則
????a???f(x)dx?f(x)|?a??f(??)?f(a)；??f(x)dx?f(x)|?????f(??)?f(??).b??f(x)dx?f(x)|b????f(b)?f(??)；
??反常積分收斂意味著相應(yīng)的f(??),f(??)存在；特別的積分?f(??),f(??)同時存在。
????f(x)dx收斂必須注意：對于無窮限積分來說，偶倍寄零原則不在成立！
2、無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）：設(shè)f(x)是f(x)的原函數(shù)，則 若b為瑕點，?f(x)dx ??f(x)?a?f(b?)?f(a)；
bab若a為瑕點，則?f(x)dx??f(x)?a?f(b)?f(a?)；
bab若a,b都為瑕點，?f(x)dx ??f(x)?a?f(b?)?f(a?)；
bab則c?(a,b)為瑕點，則?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(x)?c。a??f(x)?caacbcbb反常積分收斂意味著相應(yīng)的f(a?),f(b?)存在；特別的積分?f(x)dx（c?(a,b)ab為瑕點）收斂必須f(c?),f(c?)同時存在。
說明：由上面的公式看出，反常積分與定積分的計算方法是一樣的。都是先求原函數(shù)然后代入兩個端點，只是對于非正常點（如?和瑕點）算的是函數(shù)的極限。
3、換元法也適用于反常積分
4、會利用下面的兩個重要反常積分來討論一些函數(shù)的收斂性（重要）
???ap?1???,dx???(a?0)1,p?1xp?p?1?(p?1)a?(b?a)1?qb,q?1dx?? 1?q?a(x?a)q????,q?1?練習(xí)：p260,2題；求積分?bdx的收斂性。
b(x?b)qa5、遇到形如?f(x)dx積分時，注意[a,b]是否含有瑕點。否則會得到錯誤的結(jié)果：
adx。?1x第六章 定積分的應(yīng)用
6.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用
1、平面圖形的面積（直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)下）（重要）
2、體積（特別是旋轉(zhuǎn)體的體積）（重要）
3、三個弧長公式（重要）
6.3 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用（做功、水壓力重要，引力了解）如?1
高等數(shù)學(xué)上冊知識點 高等數(shù)學(xué)上冊題庫及答案篇二
《高等數(shù)學(xué)》上冊
一、函數(shù)與極限
1.函數(shù)基本概念—了解
1． 集合及集合的運算
2． 數(shù)軸、無窮大和無窮小的幾何表示、區(qū)間 3． 常量和變量
4． 函數(shù)的定義和函數(shù)的表達方式 5． 函數(shù)的定義域和函數(shù)的計算 6． 基本初等函數(shù)
7． 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù) 8． 分段函數(shù)
2.函數(shù)的極限及運算法則—理解極限的含義，會計算求極限的題目；涉及范圍較廣，高等數(shù)學(xué)上冊下冊均有求極限的題目，極限的方法是研究函數(shù)的工具。（不會涉及證明用極限定義證明極限的題目）
1． 數(shù)列及數(shù)列極限 2． 函數(shù)的極限
3． 無窮大和無窮小的極限表示
4． 無窮大和無窮小的關(guān)系及無窮小的性質(zhì)（運算注意前提條件有限個和無限個的區(qū)別）5． 極限的有界性定理及應(yīng)用
6． 復(fù)合函數(shù)求極限（變量代換的方法）
3.兩個重要極限（兩個極限的運算法則的條件、推廣和應(yīng)用）
1． 第一個重要極限
2． 第一個重要極限的應(yīng)用 3． 第二個重要極限
4． 第二個重要極限的應(yīng)用（注意：單調(diào) 且有界是證明題的關(guān)鍵部分）4.無窮小的比較
等價無窮小及其應(yīng)用
重要部分！5.函數(shù)的連續(xù)性和間斷點
1． 增量
2． 函數(shù)連續(xù)的兩個定義 3． 左連續(xù)和右連續(xù)
4． 函數(shù)的間斷點分類（重要，出小題）
5． 連續(xù)函數(shù)四則運算的連續(xù)性（運算法則的條件、推廣和應(yīng)用）6． 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性
7． 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，重要，但一般不單獨出題）一致連續(xù)性不用看 練習(xí)題一
2.導(dǎo)數(shù)與微分（重要,小題必考章節(jié)?。?.導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)四則運算法則
1． 導(dǎo)數(shù)的定義（重要），2． 導(dǎo)數(shù)的幾何意義（理解；其中數(shù)一數(shù)二導(dǎo)數(shù)的物理意義；數(shù)三，經(jīng)濟意義、邊際函數(shù)、彈性函數(shù)）
3． 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系（必需的！）4． 求導(dǎo)公式表（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>
5． 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運算（必需的，熟悉到1+1=2?。?.不同類型函數(shù)的求導(dǎo)法則及高階導(dǎo)數(shù)
1． 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（必需的，熟悉到1+1=2！）2． 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>
3． 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則（小題，理解！多元隱函數(shù)的求導(dǎo)）4． 高階導(dǎo)數(shù)（重要）
3.函數(shù)的微分及應(yīng)用（理解，重要同導(dǎo)數(shù)必考，小題）
1． 微分的定義
2． 微分的幾何意義
3． 微分的基本公式和運算法則 4． 復(fù)合函數(shù)的微分公式
5． 利用微分進行近似計算（除去不用看）練習(xí)題二
3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（考大題 難題，重要章節(jié)?。?/p>
1.中值定理和洛必達法則（中值定理包括費馬定理的應(yīng)用及相關(guān)的證明題，必須會做證明題?。?/p>
1． 羅爾定理及幾何意義
2． 拉格郎日中值定理及幾何意義
3． 利用拉格郎日中值定理證明不等式
4． 洛必達法則（必考;泰勒公式及其應(yīng)用，參照張宇的老師的導(dǎo)學(xué)或視頻）2.函數(shù)的極值和最值（考小題，單調(diào)性及極值點、最大值最小值）
1． 函數(shù)的單調(diào)性及判斷 2． 函數(shù)的極值 3． 函數(shù)的最值
3.曲線的凸凹性，拐點及函數(shù)作圖（考小題，單調(diào)性及極值點、凹凸性及拐點、漸近線的定義理解）
1． 曲線的凸凹性及判斷 2． 曲線的拐點 3.曲線的漸近線
4.函數(shù)作圖（會大致描繪圖形幫助做題）5.曲率
（了解即可）練習(xí)題三
4.不定積分（重要！運算的基礎(chǔ)知識。與數(shù)
一、數(shù)三相比，數(shù)二有可能大題。）
1.不定積分的概念和基本公式
1． 原函數(shù)與不定積分（理解原函數(shù)）
2． 不定積分的定義（必需的，熟悉到1+1=2！）3． 不定積分的性質(zhì)（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 基本積分表（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 直接積分法（必需的，熟悉到1+1=2?。?.換元積分法
1． 換元積分法的引入
2． 第一類換元法（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>
3． 第一類換元法的應(yīng)用（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 第二類換元法（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>
5． 第二類換元法的應(yīng)用（必需的，熟悉到1+1=2?。?.分部積分法和不定積分技巧的綜合應(yīng)用
1． 分部積分法（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>
2． 被積函數(shù)和積分變量的選取（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>
3.有理函數(shù)的積分（重要，常見的一些題型，基本的運算方法的綜合利用）4.綜合題舉例（積分表不必看）
5.定積分（重要！非常重要，是多元函數(shù)的二重積分，三重積分，線面積分的基礎(chǔ)）1.定積分的定義和基本運算
1． 定積分的定義（理解！）
2． 定積分的性質(zhì)
3． 變上限的積分函數(shù)（理解?。?/p>
4． 牛頓—萊布尼茲公式 各種題型的必需的，熟悉到1+1=2！
2.定積分的換元法和分部積分法
若不定積分學(xué)好，這一部分涉及的計算應(yīng)該1． 定積分的換元法 很簡單！2． 定積分的分部積分法
3． 利用方程和數(shù)列求定積分
常見的各種類型的題目一定要熟悉，再熟悉，3.廣義積分（理解！考小題）再再熟悉，怎么熟悉都不為過！
1． 積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分 一元函數(shù)的極限，導(dǎo)數(shù)，微分，不定積分，定2． 被積函數(shù)有無窮間斷點的廣義積分（г積分這是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，根本所在；然后多函數(shù)不用看）元函數(shù)（二元函數(shù)）的類似運算，只要把定義4.定積分的運用（會應(yīng)用）相關(guān)推理過程理解了，則 自然會有 水到渠成1． 定積分的元素法 效果，難點不再難點！2． 利用定積分求平面圖形面積
3． 利用定積分求體積（數(shù)三只看旋轉(zhuǎn)體 體積）
4.曲線的弧長（數(shù)
一、數(shù)二公式記住，數(shù) 三不考）
高等數(shù)學(xué)上冊知識點 高等數(shù)學(xué)上冊題庫及答案篇三
《工程應(yīng)用數(shù)學(xué)a》課程總結(jié)
無論我們做什么事都要不斷地思考，不斷地總結(jié)，學(xué)習(xí)也是這樣，所以這次就借此機會對于這一學(xué)期所學(xué)內(nèi)容進行一次總結(jié)，也算是對自我的一次思考。
一、課程主要知識
本課程主要以函數(shù)為起始，然后引出極限的定義以及極限的應(yīng)用。然后以極限為基礎(chǔ)介紹導(dǎo)數(shù)，微分。在微分中主要講了一些求微分的定理，例如拉格朗日中值定理，柯西中值定理等等。其次講了函數(shù)微積分，重點講了一些求積分的方法，例如換元積分法，分部積分法。最后學(xué)習(xí)微分方程，這一塊可以說是比較難的一章，什么一階微分方程，二階微分方程，二階常系數(shù)齊次線性微分方程等等，計算量也比較大。所以總的來說全書的知識點都是相連起來的。后面知識總是以前面所學(xué)知識為基礎(chǔ)，一層一層展開的。
二、個人學(xué)習(xí)心得體會
其實不瞞老師，我高中的時候數(shù)學(xué)不是太好，平時考試數(shù)學(xué)有就有點拖后腿，而且我高考數(shù)學(xué)只考了70多分。有一天老師說，高考沒及格的同學(xué)數(shù)學(xué)一定要好好學(xué)，否則極有可能掛科。當(dāng)時，我還不相信，至少認(rèn)為這種事不會發(fā)生在我身上。自己平時在數(shù)學(xué)上多少也花了點功夫?？梢哉f做的準(zhǔn)備工作比高中還多。基本上在每次上課前
都能預(yù)習(xí)，課上也認(rèn)真聽，而且課也差不多都能聽懂，作業(yè)也都是自己獨立完成的。我想及格應(yīng)該不是問題，但后來的第一次過程考核，我才發(fā)現(xiàn)差距在哪，題目基本上不怎么會寫，而且后來成績出來，剛好考了60分。當(dāng)時心就碎了。感覺落差好大。于是感嘆“高樹”太高了！我想是不是我題目做少了，難道說大學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)也要用題海戰(zhàn)術(shù)嗎？可是我看班里有些同學(xué)平時上課也不聽，作業(yè)基本靠抄，有事沒事就拿著手機看電子書，但是考試卻比我高，我就很郁悶，難道是他們比我聰明還是他們另有技巧？
經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)之后，我發(fā)現(xiàn)課前預(yù)習(xí)很重要。課前預(yù)習(xí)能夠讓你上課更有效率，也不會那么累。老師上課在黑板上的板書很多都是書上的。如果你課前預(yù)習(xí)了，就會知道老師說的在哪，書上有沒有，記筆記的時候就可以抓住重點。不用完整地抄下來。但是你不預(yù)習(xí)的話，因為不知道書上有沒有或是哪里是重點就得全部抄下來，很浪費時間，這樣一來一節(jié)課就全部用在記筆記上了，根本沒什么時間去聽課，上課也就不會有效率。所以課前預(yù)習(xí)很重要。其次必要的練習(xí)也不可缺少。比如說上課老師說的定理不太懂，這時候就需要用練習(xí)來加強對知識的理解。
三、本課程對個人的影響
高等數(shù)學(xué)在整個大學(xué)的學(xué)習(xí)過程中占有一定的重要地位，它不僅對以后將會學(xué)到的線性代數(shù)和概率統(tǒng)計有影響，而且還是考研必考的科目。對于我們網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)準(zhǔn)備考研的同學(xué)來說，這絕對是一個重
頭戲。對于不準(zhǔn)備考研的同學(xué)來說，也有一定的影響，它可以培養(yǎng)我們的邏輯思維能力、計算能力，使我們的思維更縝密。數(shù)學(xué)是科學(xué)之母，任何學(xué)科的發(fā)展都離不開它。所以高數(shù)一定要學(xué)好。
四、總結(jié)
學(xué)習(xí)如逆水行舟不進則退，對于高數(shù)這門課程尤其是這樣。因為只要你一節(jié)課沒跟上就會步步跟不上，所以高數(shù)的學(xué)習(xí)不能放松，必須抓緊。相信我能學(xué)好！一定可以的！
高等數(shù)學(xué)上冊知識點 高等數(shù)學(xué)上冊題庫及答案篇四
《高等數(shù)學(xué)》是我校高職專業(yè)重要的基礎(chǔ)課。經(jīng)過我們高等數(shù)學(xué)教師的努力，該課程在課程建設(shè)方面已走向成熟，教學(xué)質(zhì)量逐步提高,在教學(xué)研究、教學(xué)管 理、教學(xué)改革方面，我們做了很多工作，也取得了可喜的成果。
《高等數(shù)學(xué)》是學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基礎(chǔ)知識。一方面它是學(xué)生后 繼課程學(xué)習(xí)的鋪墊，另一方面它對學(xué)生科學(xué)思維的培養(yǎng)和形成具有重要意義。因此，它既是一門重要的公共必修課，又是一門重要的工具課。緊扣高職高 專的培養(yǎng)目標(biāo)，我們的《高等數(shù)學(xué)》課的定位原則是“結(jié)合專業(yè)，應(yīng)用為主，夠用為度，學(xué)有所用，用有所學(xué)”，宗旨是“拓寬基礎(chǔ)、培養(yǎng)能力、重在應(yīng)用”
根據(jù)高職高專的培養(yǎng)目標(biāo)，高等數(shù)學(xué)這門課的教學(xué)任務(wù)是使學(xué)生在高中數(shù)學(xué) 的基礎(chǔ)上，進一步學(xué)習(xí)和掌握本課程的基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技能，逐步 培養(yǎng)學(xué)生抽象概括問題的能力，一定的邏輯推理能力，空間想象能力，比 較熟練的運算能力和自學(xué)能力，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的素質(zhì)和修養(yǎng)，培養(yǎng) 學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。
高等數(shù)學(xué)這門課的教學(xué)設(shè)計思想是：根據(jù)專業(yè)設(shè)置相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。我們將 《高等數(shù)學(xué)》分成四大類：輕化工程、電子、計算機和財經(jīng)。四大類的公共教 學(xué)內(nèi)容為：一元函數(shù)微積分,微分方程。三類工科數(shù)學(xué)增加：空間解析幾何、多 元微積分學(xué)。計算機和電子再增加級數(shù)。電子類專業(yè)還專門開設(shè)拉普拉氏變換。財經(jīng)專業(yè)另開設(shè)線性代數(shù)初步。達到了專業(yè)課對基礎(chǔ)課的要求。
同時，在教學(xué)內(nèi)容的安排上，還注意了以下幾點：
1、數(shù)學(xué)知識的覆蓋面不宜太寬，應(yīng)突出重點，不過分追求數(shù)學(xué)自身的系統(tǒng) 性，嚴(yán)密性和邏輯性。淡化數(shù)學(xué)證明和數(shù)學(xué)推導(dǎo)。
2、重視知識產(chǎn)生的歷史背景知識介紹，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。每一個概念 的引入應(yīng)遵循實例—抽象—概念的形成過程。
3、重視相關(guān)知識的整合。如在一元微積分部分，可將不定積分與定積分整 合，先從應(yīng)用實例引入定積分的概念，再根據(jù)定積分計算的需要引入不定積分
4、強調(diào)重要數(shù)學(xué)思想方法的突出作用。強化與實際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知 識和基本方法。加強基礎(chǔ)知識的案例教學(xué)，力求突出在解決實際問題中有重要 應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法的作用，揭示重要的數(shù)學(xué)概念和方法的本質(zhì)。例如，在導(dǎo) 數(shù)中強調(diào)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)——變化率；在積分中強調(diào)定積分的實質(zhì)—無限累加；在 微分中強調(diào)局部線性化思想；在極值問題中強調(diào)最優(yōu)化思想；在級數(shù)中強調(diào)近似計算思想。
5、注重培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識與能力。
6、根據(jù)學(xué)生實際水平，有針對性地選擇適當(dāng)（特別是在例題、習(xí)題、應(yīng)用 案例及實驗題目等方面）的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)盡量淡化計算技巧（如求導(dǎo)和求積分 技巧等）。
知識模塊順序及對應(yīng)的學(xué)時《高等數(shù)學(xué)》工科課程主要分為七部分的知識模 塊，共需要用168個學(xué)時.1、一元函數(shù)微分學(xué)部分(極限、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)，需用60個學(xué)時；
2、一元函數(shù)積分學(xué)部分(不定積分、定積分及其應(yīng)用)，需用30個學(xué)時；
3、微分方程部分，需用12個學(xué)時。
4、向量代數(shù)與空間解析幾何部分，需用24個學(xué)時；
5、多元函數(shù)微分學(xué)部分(偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)，需用22個學(xué)時；
6、多元函數(shù)積分學(xué)部分(二重積分及其應(yīng)用)，需用8個學(xué)時；
7、無窮級數(shù)部分，需用30個學(xué)時； 課程的重點、難點及解決辦法 1、課程的重點
本課程的研究對象是函數(shù)，而研究問題的根本方法是極限方法，極限方法貫 穿于整個課程。本課程的重點是教會學(xué)生在掌握必要的數(shù)學(xué)知識（如導(dǎo)數(shù)與 微分、定積分與重積分及級數(shù)理論等）的同時，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方 法解決實際問題的意識、興趣和創(chuàng)新能力。
2、課程的難點
本課程的教學(xué)難點在于由實際問題抽象出有關(guān)概念和其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法解決實際問題的意識、興趣和能力；一元函數(shù) 的極限定義并用定義證明極限、定積分的應(yīng)用、多元復(fù)合抽象函數(shù)的求偏導(dǎo)，根據(jù)實際問題建立微分方程等內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的難點。
3、解決辦法
對于工科類高等數(shù)學(xué)，講授時一般以物理、力學(xué)和工程中的數(shù)學(xué)模型為背景 引出問題，采取啟發(fā)式教學(xué)以及現(xiàn)代化教學(xué)手段，講清思想，加強基礎(chǔ)；注 意連續(xù)和離散的關(guān)系，加強函數(shù)的離散化處理，注意培養(yǎng)學(xué)生研究問題和解 決實際問題的能力；注意教學(xué)內(nèi)容與建立數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系。在微積分學(xué) 的應(yīng)用中，更是關(guān)注物理模型的建立和研究思想。另外，重點、難點內(nèi)容多 配備題目，課堂講解通過典型例題的分析過程和解決過程掌握重點、突破難 點；課外還布置一定量的練習(xí)題；最近幾年以來，基礎(chǔ)部學(xué)科建設(shè)發(fā)展迅速，研究成果和學(xué)術(shù)論文突飛猛進，學(xué)術(shù)環(huán)境和氛圍極大改善?；A(chǔ)部科研和教 學(xué)活動的新的水平層次，為《高等數(shù)學(xué)》精品課程的建設(shè)和發(fā)展，提供了優(yōu) 秀的學(xué)術(shù)環(huán)境和平臺。
教 學(xué) 大 綱
一、內(nèi)容簡介
本課程的內(nèi)容包括函數(shù)的極限與連續(xù)，微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用，常微分方程，空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，無窮級數(shù)，線性代數(shù)初步，數(shù)學(xué)實驗等。其中函數(shù)的極限與連續(xù)，微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用為各專業(yè)的基礎(chǔ)部分?？臻g解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，無窮級數(shù)，線性代數(shù)初步，數(shù)學(xué)實驗為選學(xué)模塊，各專業(yè)可根據(jù)專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)的要求，選學(xué)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。
二、課程的目的和任務(wù)
為培養(yǎng)能適應(yīng)二十一世紀(jì)產(chǎn)業(yè)技術(shù)不斷提升和社會經(jīng)濟迅速發(fā)展的高等技術(shù)應(yīng)用型人才，教學(xué)中本著重能力、重應(yīng)用、求創(chuàng)新的思路，切實貫徹“以應(yīng)用為目的、理論知識以必需、夠用為度”的原則，落實高職高專教育“基礎(chǔ)知識適度，技術(shù)應(yīng)用能力強，知識面較寬，素質(zhì)高”的培養(yǎng)目標(biāo)，從根本上反映出高職高專數(shù)學(xué)教學(xué)的基本特征，反映出目前國內(nèi)外知識更新和科技發(fā)展的最近動態(tài)，將工程技術(shù)領(lǐng)域的新知識、新技術(shù)、新內(nèi)容、新工藝、新案例及時反映到教學(xué)中來，充分體現(xiàn)高職教育專業(yè)設(shè)置緊密聯(lián)系生產(chǎn)、建設(shè)、服務(wù)、管理一線的實際要求。在教學(xué)內(nèi)容的組織上，注意以下幾點：
1．注意數(shù)學(xué)知識的深、廣度?；A(chǔ)知識和基本理論以“必需、夠用”為度.把重點放在概念、方法和結(jié)論的實際應(yīng)用上。多用圖形、圖表表達信息，多用有實際應(yīng)用價值的案例、示例促進對概念、方法的理解。對基礎(chǔ)理論不做論證，必要時只作簡單的幾何解釋。
2．必須貫徹“理解概念、強化應(yīng)用”的教學(xué)原則。理解概念要落實到用數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)概念消化、吸納工程技術(shù)原理上；強化應(yīng)用要落實到使學(xué)生能方便地用所學(xué)數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)模型上。
3．采用“案例驅(qū)動”的教學(xué)模式。由實際問題引出數(shù)學(xué)知識，再將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于處理各種生活和工程實際問題。重視數(shù)學(xué)知識的引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。每一個概念的引入應(yīng)遵循實例—抽象—概念的形成過程。
4．重視相關(guān)知識的整合。如在一元微積分部分，可將不定積分與定積分整合，先從應(yīng)用實例引入定積分的概念，再根據(jù)定積分計算的需要引入不定積分。
5．要特別注意與實際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技能的訓(xùn)練，但不追求過分復(fù)雜的計算和變換?？赏ㄟ^數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，提升學(xué)生對的數(shù)學(xué)問題的求解能力。加強基礎(chǔ)知識的案例教學(xué)，力求突出在解決實際問題中有重要應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想和方法的作用，揭示重要的數(shù)學(xué)概念和方法的本質(zhì)。例如，在導(dǎo)數(shù)中強調(diào)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)——變化率；在積分中強調(diào)定積分的實質(zhì)—無限累加；在微分中強調(diào)局部線性化思想；在極值問題中強調(diào)最優(yōu)化思想；在級數(shù)中強調(diào)近似計算思想。
6．在內(nèi)容處理上要兼顧對學(xué)生抽象概括能力、自學(xué)能力、以及較熟練的綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng).真正體現(xiàn)以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的辨證統(tǒng)一。
三、課程內(nèi)容
第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)
理解一元函數(shù)的概念及其表示；了解分段函數(shù)；了解復(fù)合函數(shù)的概念，會分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。熟悉基本初等函數(shù)及其圖形；能熟練列出簡單問題中的函數(shù)關(guān)系；理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；會用極限思想方法分析簡單問題；了解函數(shù)左、右極限的概念，以及函數(shù)左、右極限與函數(shù)極限的關(guān)系；掌握極限四則運算法則；理解函數(shù)連續(xù)、間斷的概念；知道初等函數(shù)的連續(xù)性；會討論分段函數(shù)的連續(xù)性。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用
理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念；能用導(dǎo)數(shù)描述一些經(jīng)濟、工程或物理量；熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；能熟練地求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求一些簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，會用微分做近似計算；會建立簡單的微分模型。第三章
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
會用羅必達解決未定型極限；理解函數(shù)的極值概念；會求函數(shù)的極值，會判斷函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖形的凹、凸性等；熟練掌握最大、最小值的應(yīng)用題的求解方法。第四章
一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用
理解不定積分和定積分的概念；了解不定積分和定積分的性質(zhì)；理解定積分的幾何意義；熟悉不定積分的基本公式；掌握不定積分的直接積分法、第一類換元法和常見類型的分部積分法；熟練掌握牛（newton）-萊布尼茲(leibniz)公式；熟練掌握定積分的微元法，能建立一些實際問題的積分模型；會用微元分析法建立簡單的積分模型；了解廣義積分的概念.了解微分方程的階、解、通解、初始條件、特解等概念；掌握可分離變量微分方程及一階線性微分方程的解法；掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；會建立簡單的微分方程模型。第五章
空間解析幾何與向量代數(shù)
理解向量的概念，掌握向量的線性運算、點乘、叉乘，兩個向量垂直、平行的條件；熟悉單位向量、方向余弦及向量的坐標(biāo)表達式；掌握用坐標(biāo)表達式進行向量運算；理解曲面方程的概念，熟悉平面方程和直線方程及其求法；了解常用的二次曲面的方程，了解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；了解曲線在坐標(biāo)平面上的投影。第六章
多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 理解多元函數(shù)的概念；了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性概念及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件；掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)；會求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會求一些極值。第七章
二重積分
理解二重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)和幾何意義；掌握二重積分的計算方法。第八章
無窮級數(shù)
了解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散及和的概念，基本性質(zhì)及收斂的必要條件；掌握幾何級數(shù)和p-級數(shù)的收斂性；掌握正項級數(shù)的比較審斂法，比值審斂法；了解交錯級數(shù)的萊布尼茲定理；了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系；了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；掌握比較簡單的冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法；了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)；了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充要條件；會將一些簡單的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。了解函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷條件，會將定義在（-π,π）上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，并會將在（0，π）上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。知道傅里葉級數(shù)在工程技術(shù)中的應(yīng)用。了解拉普拉斯變換和逆變換的概念，會求解簡單信號函數(shù)的拉普拉斯變換和逆變換。第九章 線性代數(shù)初步
理解矩陣的概念；掌握用矩陣表示實際量的方法；熟練掌握矩陣的線性運算、乘法運算、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)律；熟練掌握矩陣的初等變換；理解逆矩陣的概念，會用矩陣的初等變換求方陣的逆矩陣。會建立簡單的線性模型；熟練掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。第十章 數(shù)學(xué)實驗
數(shù)學(xué)實驗是以實際問題為實驗對象的操作實驗，其教學(xué)不僅讓學(xué)生了解和掌握一種數(shù)學(xué)實驗軟件，而更重要的是培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力。
四、課程的教學(xué)方式
本課程的特點是思想性強，與相關(guān)基礎(chǔ)課及專業(yè)課聯(lián)系較多，教學(xué)中應(yīng)注重由案例啟發(fā)進入相關(guān)知識，并突出幫助學(xué)生理解重要概念的思想本質(zhì)，避免學(xué)生死記硬背。要善于將有關(guān)學(xué)科或生活中常遇到的名詞概念與微積分學(xué)的概念結(jié)合起來，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要性。同時，注重各教學(xué)環(huán)節(jié)（理論教學(xué)、習(xí)題課、作業(yè)、輔導(dǎo)參考）的有機聯(lián)系, 特別是強化作業(yè)與輔導(dǎo)環(huán)節(jié)，使學(xué)生加深對課堂教學(xué)內(nèi)容的理解，提高分析解決問題的能力和運算能力。教學(xué)中有計劃有目的地向?qū)W生介紹學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)專業(yè)課之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是獲取進一步學(xué)習(xí)機會的關(guān)鍵學(xué)科。
五、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配
序號教學(xué)模塊理論課時習(xí)題課時實 驗共計備注
1函數(shù)的極限與連續(xù)166 22各專業(yè)的公共基礎(chǔ) 2 導(dǎo)數(shù)與微分204 24 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用104 14 4一元函數(shù)積分及其應(yīng)用228 30
常微分方程102 12輕化、電子、計算機、經(jīng)濟類學(xué)生選
5空間解析幾何與向量代數(shù)186 24輕化、電子、計算機類學(xué)生選 6多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用166 22輕化、電子、計算機類學(xué)生選
7二重積分62 8 8無窮級數(shù)246 30電子、計算機類學(xué)生選
9線性代數(shù)初步144 18電子、計算機、經(jīng)濟類學(xué)生選 10 實驗
六、執(zhí)行大綱時應(yīng)注意的問題
1.大綱以高職高專各專業(yè)為實施對象。
2.模具和高分子專業(yè)增加極坐標(biāo)和曲率；電子專業(yè)增加拉普拉斯變換。3.數(shù)學(xué)實驗課程視情況開設(shè)。
教學(xué)效果
高等數(shù)學(xué)課程是一門十分繁重的教學(xué)任務(wù)，不僅學(xué)時多、面對學(xué)生人數(shù)多，而且責(zé)任大。學(xué)校、系、學(xué)生都十分關(guān)注這門課程的教學(xué)質(zhì)量，它涉及到后續(xù)課程的教學(xué)，特別是它影響培養(yǎng)人才的質(zhì)量和水平?；A(chǔ)部歷來非常重視高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，積極組織教師開展教學(xué)研究，要求任課教師認(rèn)真負(fù)責(zé)地對待教學(xué)工作，備好、講好每一節(jié)課。多年來高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平一直受到學(xué)校和學(xué)生的好評。
從課堂表現(xiàn)可以看出教師備課是充分的。講授熟練，概念清楚，重點突出。特別是貫徹啟發(fā)式教學(xué)，教與學(xué)互動，課堂提問討論，學(xué)生課堂解題等，師生配合較好，課堂氣氛活躍，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。教師們經(jīng)常討論各章節(jié)的重點難點應(yīng)如何處理，如何分析引出概念，如何貫徹啟發(fā)式教學(xué)，哪些問題要留給學(xué)生自己解決。這種教學(xué)研討一學(xué)期要有十多次，有時幾乎每周都有安排。嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、嚴(yán)格要求、教書育人、為人師表是基礎(chǔ)部的優(yōu)良傳統(tǒng)，可以說高等數(shù)學(xué)教研室在師資隊伍建設(shè)上成績是突出的。高等數(shù)學(xué)在教學(xué)改革上，準(zhǔn)備將數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，從而來提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，嘗到數(shù)學(xué)應(yīng)用的益處，提高學(xué)數(shù)學(xué)的積極性
課程的方法和手段
本課程運用現(xiàn)代教育技術(shù)、采用多種教學(xué)手段相結(jié)合的方式。大多數(shù)教師在教學(xué)中使用powerpoint課件、電子教案、模型教具等輔助手段，使教學(xué)內(nèi)容的表達更生動、直觀，有效提高了教學(xué)效果。采用多媒體輔助教學(xué)的教師比例達到100%。具體情況如下：
1．堅持“少講、留疑、迫思、細(xì)答、深析”的教學(xué)原則，試點“討論式”、“聯(lián)想式”、“逆反式”等教學(xué)方法。
高等數(shù)學(xué)是學(xué)生進入大學(xué)后首先學(xué)習(xí)的課程之一，內(nèi)容難以理解，課堂教學(xué)容量大。如何培養(yǎng)學(xué)生獨立學(xué)習(xí)的能力，也是教師義不容辭的責(zé)任。為轉(zhuǎn)變學(xué)生中學(xué)養(yǎng)成的依賴教師的學(xué)習(xí)習(xí)慣，盡快適應(yīng)大學(xué)學(xué)習(xí)生活，我們在教學(xué)中提出“少講、留疑、迫思、細(xì)答，深析”的教學(xué) 原則，開展了“討論式”、“聯(lián)想式”、“逆反式”等教學(xué)方法，收到了較好的效果。
2．提倡研究式學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生初步進行科學(xué)研究的能力和創(chuàng)新精神
工科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的，是能將所學(xué)數(shù)學(xué)知識用于專業(yè)研究中。為激發(fā)學(xué)生的求知欲、鍛煉學(xué)生的初步研究能力、培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)與創(chuàng)新精神，我們嘗試在部分班級開展研究式的學(xué)習(xí)方法。具體方法是：將部分教學(xué)內(nèi)容改造成研究問題，讓學(xué)生通過課程學(xué)習(xí)、查閱資料、相互討論等形式思考研究問題。例如針對微分方程的應(yīng)用、各種定積分的比較研究等問題開展這項活動，學(xué)生反映很好。
3．傳統(tǒng)教學(xué)手段與現(xiàn)代教學(xué)手段結(jié)合，提高教學(xué)效果
在部分內(nèi)容保留傳統(tǒng)教學(xué)方式的基礎(chǔ)上，積極運用現(xiàn)代教育技術(shù)，探索計算機輔助教學(xué)的模式，研制電子教案，并在部分班級進行試點。例如：我們利用電子教案講授空間解析幾何、重積分等內(nèi)容，使一些空間圖形的演示更直觀、更清楚，便于學(xué)生理解和掌握。
4．加強課下輔導(dǎo)，及時為學(xué)生排疑解難
課下的輔導(dǎo)答疑是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，為加強這個環(huán)節(jié)，我們安排了正常的輔導(dǎo)答疑。
5．積極開展課外科技活動
為配合高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，我們準(zhǔn)備開設(shè)《mathematica》和《數(shù)學(xué)建模》兩門院級選修課，為基礎(chǔ)較好的學(xué)生提供進一步提高的機會。同時，積極組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽。
高等數(shù)學(xué)上冊知識點 高等數(shù)學(xué)上冊題庫及答案篇五
§13.2 多元函數(shù)的極限和連續(xù)
一 多元函數(shù)的概念
不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實際問題中，許多量的變化，不只由一個因素決定，而是由多個因素決定。例如平行四邊行的面積a由它的相鄰兩邊的長x和寬y以及夾角?所確定,即a?xysin?;圓柱體體積v由底半徑r和高h(yuǎn)所決定,即v??r2h。這些都是多元函數(shù)的例子。
一般地，有下面定義：
定義1: 設(shè)e是r2的一個子集，r是實數(shù)集，f是一個規(guī)律，如果對e中的每一點(x,y)，通過規(guī)律f，在r中有唯一的一個u與此對應(yīng)，則稱f是定義在e上的一個二元函數(shù)，它在點(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)，即u?f(x,y)。
有時，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)x?r?x?y222就是一個上半球面，球心在原點，半徑為r，此函數(shù)定義域為滿足關(guān)系式x2?y2?r2的x，y全體，即d?{(x,y)|x2?y2?r2}。又如，z?xy是馬鞍面。
二 多元函數(shù)的極限
定義2
設(shè)e是r2的一個開集，a是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?m??f(x,y)在點m0?x0,y0??e附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?r?m,m0???時，有f(m)?a??，就稱a是二元函數(shù)在m0點的極限。記為limf?mm?m0??a或f?m??a?m?m0?。
定義的等價敘述1 ：設(shè)e是r2的一個開集，a是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?m在點0???f(x,y)m0?2x,0y0??2e近有定義．如果???0附，???0，當(dāng)?x?x0???y?y0???時，有f(x,y)?a??，就稱a是二元函數(shù)在m0點的極
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限。記為limf?mm?m0??a或f?m??a?m?m0?。
定義的等價敘述2： 設(shè)e是r2的一個開集，a是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?m在點m0?x,0y0????f(x,y)附e近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?x?x0??,0?y?y0??且?x,y???x0,y0?時，有f(x,y)?a??，就稱a是二元函數(shù)在m0點的極限。記為limf?mm?m0??a或f?m??a?m?m0?。
注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果limf(m)?a，則當(dāng)m以任何點列及任何方式趨
m?m0于m0時，f(m)的極限是a；反之，m以任何方式及任何點列趨于m0時，f(m)的極限是a。但若m在某一點列或沿某一曲線?m0時，f(m)的極限為a，還不能肯定f(m)在m0的極限是a。所以說，這里的“”或“”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。
例1：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?xyx?yxyx?y22222，討論在點(0,0)的的二重極限。
例2：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?2，討論在點(0,0)的二重極限是否存在。
??0,例3：f(x,y)????1,x?y其它或y?0，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。
二元函數(shù)的極限較之一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。
例4：limx?yx?xy?ysinxyx22。
x??y??例5：① limx?0y?0
② lim(x?y)ln(x?y)③ lim(x?y)ex?0y?0x??y??2222222?(x?y)
例6：求f(x,y)?xy3223x?y在（０，０）點的極限，若用極坐標(biāo)替換則為limrr?0cos?sin?cos??sin?3322?0?
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（注意：cos3??sin3?在??7?4時為０，此時無界）。
xyx?y222例7：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?證明二元極限不存在的方法．，討論在點(0,0)的二重極限．
基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法，說明極限與輻角有關(guān)．
例8：f(x,y)?xyx?y22在(0,0)的二重極限不存在．
三
二元函數(shù)的連續(xù)性
定義3
設(shè)f?m?在m0點有定義，如果limf(m)?f(m0)，則稱f?mm?m0?在m0點連續(xù)．
???0,???0,當(dāng)0
如果f在開集e內(nèi)每一點連續(xù)，則稱f在e內(nèi)連續(xù)，或稱f是e內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。
例9：求函數(shù)u?tan?x2?y2?的不連續(xù)點。
四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
有界性定理：
若f?x,y?再有界閉區(qū)域d上連續(xù)，則它在d上有界。一致連續(xù)性定理: 若f?x,y?再有界閉區(qū)域d上連續(xù)，則它在d上一致連續(xù)。最大值最小值定理: 若f?x,y?再有界閉區(qū)域d上連續(xù)，則它在d上必有最大值和最小值。
零點存在定理:
設(shè)d是rn中的一個區(qū)域，p0和p1是d內(nèi)任意兩點，f是d內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果f(p0)?0，f(p1)?0，則在d內(nèi)任何一條連結(jié)p0,p1的折線上，至少存在一點ps，使f(ps)?0。
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五
二重極限和二次極限
在極限limf(x,y)中，兩個自變量同時以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重x?x0y?y0極限（二重極限）．此外，我們還要討論當(dāng)x,y先后相繼地趨于x0與y0時f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：
若對任一固定的y，當(dāng)x?x0時，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)??(y),而?(y)x?x0在y?y0時的極限也存在并等于a，亦即lim?(y)?a，那么稱a為f(x,y)先對x，再
y?y0對y的二次極限，記為limlimf(x,y)?a．
y?y0x?x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．
x?x0y?y0上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。
注：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例10：（二重極限存在，但兩個二次極限不存在）．設(shè)
11?xsin?ysin?yxf(x,y)??
?0?x?0,y?0x?0ory?0
由f(x,y)?x?y 得limf(x,y)?0（兩邊夾）;由limsinx?0y?01y不存在知f(x,y)的累次
y?0極限不存在。
例11：（兩個二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)
f(x,y)?xyx?y22，(x,y)?(0,0)
由limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?0知兩個二次極限存在且相等。但由前面知x?0y?0y?0x?0limf(x,y)不存在。
x?0y?0例12：（兩個二次極限存在，但不相等）。設(shè)
f(x,y)?x?yx?y2222，(x,y)?(0,0)
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則 limlimf(x,y)?1，limlimf(x,y)??1;limlimf(x,y)?limlimf(x,y)（不x?0y?0y?0x?0x?0y?0y?0x?0可交換）
上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會有一些聯(lián)系。
定理1:設(shè)（1）二重極限limf(x,y)?a；（2）?y,y?y0，limf(x,y)??(y).則
x?x0y?y0x?x0y?y0lim?(y)?limlimf(x,y)?a。
y?y0x?x0（定理1說明：在重極限與一個累次極限都存在時，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。
推論1:
設(shè)（1）limf(x,y)?a；（2）（3）?y,y?y0，limf(x,y)存在；?x,x?x0，x?x0y?y0x?x0y?y0limf(x,y)存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0limf(x,y)。
推論2: 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限
x?x0y?y0y?y0x?x0x?x0y?y0limf(x,y)必不存在（可用于否定重極限的存在性）。
222例13：求函數(shù)f?x,y??xy22xy??x?y?在?0,0?的二次極限和二重極限。
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