2017年湖南省高考理科數(shù)學試題答案與解析（word版）

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理科數(shù)學

注意事項：

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合，則（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】，

∴，，

選A

2.如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】設(shè)正方形邊長為，則圓半徑為

則正方形的面積為，圓的面積為，圖中黑色部分的概率為

則此點取自黑色部分的概率為

故選B

3.設(shè)有下面四個命題（）

：若復數(shù)滿足，則；

：若復數(shù)滿足，則；

：若復數(shù)滿足，則；

：若復數(shù)，則．

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】設(shè)，則，得到，所以.故正確；

若，滿足，而，不滿足，故不正確；

若，，則，滿足，而它們實部不相等，不是共軛復數(shù)，故不正確；

實數(shù)沒有虛部，所以它的共軛復數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故正確；

4.記為等差數(shù)列的前項和，若，則的公差為（）

A．1B．2C．4D．8

【答案】C

【解析】

聯(lián)立求得

得

選C

5.函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】因為為奇函數(shù)，所以，

于是等價于|

又在單調(diào)遞減

故選D

6.展開式中的系數(shù)為

A．B．C．D．

【答案】C.

【解析】

對的項系數(shù)為

對的項系數(shù)為，

∴的系數(shù)為

故選C

7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為，俯視圖為等腰直角三角形、該多面體的各個面中有若干是梯形，這些梯形的面積之和為

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由三視圖可畫出立體圖

該立體圖平面內(nèi)只有兩個相同的梯形的面

故選B

8.右面程序框圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)，那么在和兩個空白框中，可以分別填入

A．和B．和

C．和D．和

【答案】D

【答案】因為要求大于1000時輸出，且框圖中在“否”時輸出

∴“”中不能輸入

排除A、B

又要求為偶數(shù)，且初始值為0，

“”中依次加2可保證其為偶

故選D

9.已知曲線，，則下面結(jié)論正確的是（）

A．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線

B．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線

C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線

D．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線

【答案】D

【解析】，

首先曲線、統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將用誘導公式處理．

．橫坐標變換需將變成，

即

．

注意的系數(shù)，在右平移需將提到括號外面，這時平移至，

根據(jù)“左加右減”原則，“”到“”需加上，即再向左平移．

10.已知為拋物線：的交點，過作兩條互相垂直，，直線與交于、兩點，直線與交于，兩點，的最小值為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

設(shè)傾斜角為．作垂直準線，垂直軸

易知

同理，

又與垂直，即的傾斜角為

而，即．

，當取等號

即最小值為，故選A

11.設(shè)，，為正數(shù)，且，則（）

A．B．C．D．

【答案】D

【答案】取對數(shù)：.

則

，故選D

12.幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件，為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列， …，其中第一項是，接下來的兩項是，，在接下來的三項式，，，依次類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)：且該數(shù)列的前項和為的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】設(shè)首項為第1組，接下來兩項為第2組，再接下來三項為第3組，以此類推．

設(shè)第組的項數(shù)為，則組的項數(shù)和為

由題，，令→且，即出現(xiàn)在第13組之后

第組的和為

組總共的和為

若要使前項和為2的整數(shù)冪，則項的和應與互為相反數(shù)

即

→

則

故選A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量，的夾角為，，，則________．

【答案】

【解析】

∴

14.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值為_______．

【答案】

不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示

由得，

求的最小值，即求直線的縱截距的最大值

當直線過圖中點時，縱截距最大

由解得點坐標為，此時

15.已知雙曲線，（，）的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為_______．

【答案】

【解析】如圖，

，

∵，∴，

∴

又∵，∴，解得

∴

16.如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為，、、為元上的點，，，分別是一，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合， 得到三棱錐．當?shù)倪呴L變化時，所得三棱錐體積（單位：）的最大值為_______．

【答案】

【解析】由題，連接，交與點，由題，

，即的長度與的長度或成正比

設(shè)，則，

三棱錐的高

則

令，，

令，即，

則

則

體積最大值為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知的面積為．

（1）求；

（2）若，，求的周長．

【解析】本題主要考查三角函數(shù)及其變換，正弦定理，余弦定理等基礎(chǔ)知識的綜合應用.

（1）面積.且

由正弦定理得，

由得.

（2）由（1）得，

又

，，

由余弦定理得①

由正弦定理得，

②

由①②得

，即周長為

18.（12分）

如圖，在四棱錐中，中，且．

（1）證明：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

【解析】（1）證明：∵

∴，

又∵

，∴

又∵，、平面

∴平面，又平面

∴平面平面

（2）取中點，中點，連接，

∵

∴四邊形為平行四邊形

∴

由（1）知，平面

∴平面，又、平面

∴，

又∵，∴

∴、、兩兩垂直

∴以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

設(shè)，∴、、、，

∴、、

設(shè)為平面的法向量

由，得

令，則，，可得平面的一個法向量

∵，∴

又知平面，平面

∴，又

∴平面

即是平面的一個法向量，

∴

由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為

19.（12分）

為了抽檢某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，實驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從 正態(tài)分布．

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．

（I）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性：

（II）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．

用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到）．

附：若隨機變量服從正態(tài)分布,則．

，．

【解析】（1）由題可知尺寸落在之內(nèi)的概率為，落在之外的概率為．

由題可知

（2）（i）尺寸落在之外的概率為，

由正態(tài)分布知尺寸落在之外為小概率事件，

因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理．

（ii）

，需對當天的生產(chǎn)過程檢查．

因此剔除

剔除數(shù)據(jù)之后：．

20.（12分）

已知橢圓：，四點，，，中恰有三點在橢圓上．

（1）求的方程；

（2）設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于、兩點，若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點．

【解析】（1）根據(jù)橢圓對稱性，必過、

又橫坐標為1，橢圓必不過，所以過三點

將代入橢圓方程得

，解得，

∴橢圓的方程為：．

（2）當斜率不存在時，設(shè)

得，此時過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足．

當斜率存在時，設(shè)

聯(lián)立，整理得

，

則

又

，此時，存在使得成立．

∴直線的方程為

當時，

所以過定點．

21.（12分）

已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍．

【解析】（1）由于

故

當時，，．從而恒成立．

在上單調(diào)遞減

當時，令，從而，得．

單調(diào)減極小值單調(diào)增

綜上，當時，在上單調(diào)遞減；

當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

（2）由（1）知，

當時，在上單調(diào)減，故在上至多一個零點，不滿足條件．

當時，．

令．

令，則．從而在上單調(diào)增，而．故當時，．當時．當時

若，則，故恒成立，從而無零點，不滿足條件．

若，則，故僅有一個實根，不滿足條件．

若，則，注意到．．

故在上有一個實根，而又．

且．

故在上有一個實根．

又在上單調(diào)減，在單調(diào)增，故在上至多兩個實根．

又在及上均至少有一個實數(shù)根，故在上恰有兩個實根．

綜上，．

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22.[選修4-4：坐標系與參考方程]

在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）若，求與的交點坐標；

（2）若上的點到距離的最大值為，求．

【解析】（1）時，直線的方程為．

曲線的標準方程是，

聯(lián)立方程，解得：或，

則與交點坐標是和

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