2015年陜西高考理科數學試題答案（word版）

2015年陜西高考理科數學試題答案（word版）

整體理科數學考試難度：（五顆為很難）

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2015年陜西省高考理科數學試題答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）

1.1.設集合，則（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

試題分析：，所以，故選A.

考點：1、一元二次方程；2、對數不等式；3、集合的并集運算。

2.某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師

的人數為（ ）

A.167 B.137 C.123 D.93

【答案】B

考點：扇形圖。

3.如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數，據此函數

可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（ ）

A.5 B.6 C.8 D.10

【答案】C

【解析】

試題分析：由圖象知：，因為，所以，解得：，所以這段時間水深的最大值是，故選C.

考點：三角函數的圖象與性質。

4.二項式的展開式中的系數為15，則（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7

【答案】C

考點：二項式定理。

5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

試題分析：由三視圖知：該幾何體是半個圓柱，其中底面圓的半徑為，母線長為，所以該幾何體的表面積是，故選D.

考點：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積。

6.“”是“”的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

試題分析：因為，所以或，因為“”“”，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要條件，故選A.

考點：1、二倍角的余弦公式；2、充分條件與必要條件。

7.對任意向量，下列關系式中不恒成立的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B

考點：1、向量的模；2、向量的數量積。

8.根據右邊的圖，當輸入x為2006時，輸出的（ ）

A.28 B.10 C.4 D.2

【答案】B

【解析】[來源：]

試題分析：初始條件：；第1次運行：；第2次運行：；第3次運行：；；第1003次運行：；第1004次運行：。不滿足條件，停止運行，所以輸出的，故選B.

考點：程序框圖。

9.設，若，則下列關系

式中正確的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

考點：1、基本不等式；2、基本初等函數的單調性。

10.某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料。已知生產1噸每種產品需原料及每天原料

的可用限額如表所示，如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最

大利潤為（ ）

A.12萬元 B.16萬元 C.17萬元 D.18萬元

【答案】D

【解析】

試題分析：設該企業(yè)每天生產甲、乙兩種產品分別為、噸，則利潤

由題意可列，其表示如圖陰影部分區(qū)域：

當直線過點時，取得最大值，所以，故選D.

考點：線性規(guī)劃。

11.設復數，若，則的概率為（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

試題分析：

如圖可求得，陰影面積等于

若，則的概率是，故選B.

考點：1、復數的模；2、幾何概型。

12.對二次函數（a為非零整數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有

一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是（ ）

A.-1是的零點 B.1是的極值點

C.3是的極值 D. 點在曲線上

【答案】A

考點：1、函數的零點；2、利用導數研究函數的極值。

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）

13.中位數1010的一組數構成等差數列，其末項為2015，則該數列的首項為 .

【答案】

【解析】

試題分析：設數列的首項為，則，所以，故該數列的首項為，所以答案應填：。

考點：等差中項。

14.若拋物線的準線經過雙曲線的一個焦點，則p= .

【答案】

考點：1、拋物線的簡單幾何性質；2、雙曲線的簡單幾何性質。

15.設曲線在點（0,1）處的切線與曲線上點p處的切線垂直，則p的坐標

為 .

【答案】

【解析】

試題分析：因為，所以，所以曲線在點處的切線的斜率，設的坐標為（），則，因為，所以，所以曲線在點處的切線的斜率，因為，所以，即，解得，因為，所以，所以，即的坐標是，所以答案應填：。

考點：1、導數的幾何意義；2、兩條直線的位置關系。

16.如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表

示），則原始的最大流量與當前最大流量的比值為 .

【答案】

【解析】

試題分析：建立空間直角坐標系，如圖所示：

原始的最大流量是，設拋物線的方程為（），因為該拋物線過點，所以，解得，所以，即，所以當前最大流量是，故原始的最大流量與當前最大流量的比值是，所以答案應填：。

考點：1、定積分；2、拋物線的方程；3、定積分的幾何意義。

三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。）

17.（本小題滿分12分）的內角，所對的邊分別為，。向量

與平行。

（I）求；

（II）若，求的面積。

【答案】（I）；（II）。[來源：ZXXK]

試題解析：（I）因為，所以，

由正弦定理，得

又，從而，

由于，所以

（II）解法一：由余弦定理，得

而

得，即

因為，所以。

故ABC的面積為。

考點：1、平行向量的坐標運算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面積公式。

18.（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，

，是的中點，是與的交點。將沿折起到的位置，如圖。

（I）證明：平面；

（II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值。

【答案】（I）證明見解析；（II）。

試題解析：（I）在圖1中，

因為AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點，BAD=，所以BE AC

即在圖2中，BE ，BE OC

從而BE平面

又CDBE，所以CD平面。

[來源：Z。xx。k.Com]

（II）由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE ，BE OC

所以為二面角的平面角，所以。

如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系，

因為，

所以

得 ，。

設平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，

則，得，取，

，得，取，

從而，

即平面與平面夾角的余弦值為。

考點：1、線面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標系；4、空間向量在立體幾何中的應用。

19.（本小題滿分12分）設某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為，只與道路暢通狀況有關，

對其容量為的樣本進行統(tǒng)計，結果如下：[來源：Z,xx,k.Com]

（分鐘）253035[來源：ZXXK]40

頻數（次）20304010

（I）求的分布列與數學期望；

（II）劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從

離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率。

【答案】（I）分布列見解析，；（II）。

【解析】

試題分析：（I）先算出的頻率分布，進而可得的分布列，再利用數學期望公式可得數學期望；（II）先設事件表示“劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過分鐘”，再算出的概率。

試題解析：（I）由統(tǒng)計結果可得T的頻率分步為

（分鐘）25303540

頻率0.20.30.40.1

以頻率估計概率得T的分布列為

25303540

0.20.30.40.1

從而 （分鐘）

（II）設分別表示往、返所需時間，的取值相互獨立，且與T的分布列相同。設事件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘”，由于講座時間為50分鐘，所以事件A對應于“劉教授在途中的時間不超過70分鐘”。

解法一：

.

解法二：

故。

考點：1、離散型隨機變量的分布列與數學期望；2、獨立事件的概率。

20.（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點到經過兩點

，的直線的距離為。

（I）求橢圓的離心率；

（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經過，兩點，求橢圓的方

程。

【答案】（I）；（II）。

【解析】

試題分析：（I）先寫過點，的直線方程，再計算原點到該直線的距離，進而可得橢圓的離心率；（II）先由（I）知橢圓的方程，設的方程，聯立，消去，可得和的值，進而可得，再利用可得的值，進而可得橢圓的方程。

試題解析：（I）過點（c,0），（0,b）的直線方程為，

則原點O到直線的距離，

由，得，解得離心率。

（II）解法一：由（I）知，橢圓E的方程為。 （1）

依題意，圓心M（-2,1）是線段AB的中點，且。

易知，AB不與x軸垂直，設其直線方程為，代入（1）得

設則

由，得解得。

從而。

于是。

由，得，解得。

故橢圓E的方程為。

解法二：由（I）知，橢圓E的方程為。 （2）

依題意，點A，B關于圓心M（-2,1）對稱，且。

設則，

兩式相減并結合得。

易知，AB不與x軸垂直，則，所以AB的斜率

因此AB直線方程為，代入（2）得

所以，。

于是。

由，得，解得。

故橢圓E的方程為。

考點：1、直線方程；2、點到直線的距離公式；3、橢圓的簡單幾何性質；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關系；7、直線與圓錐曲線的位置。

21.（本小題滿分12分）設是等比數列，的各項和，其中，

.

（I）證明：函數在內有且僅有一個零點（記為），且；

（II）設有一個與上述等比數列的首項、末項、項數分別相同的等差數列，其各項和為，比較

與的大小，并加以證明。

【答案】（I）證明見解析；（II）當時， ，當時，證明見解析。

【解析】

試題分析：（I）先利用零點定理可證在內至少存在一個零點，再利用函數的單調性可證在內有且僅有一個零點，進而利用是的零點可證；（II）先設，再對的取值范圍進行討論來判斷與的大小，進而可得和的大小。

試題解析：（I）則

所以在內至少存在一個零點。

又，故在內單調遞增，

所以在內有且僅有一個零點。

因為是的零點，所以，即，故。

考點：1、零點定理；2、利用導數研究函數的單調性。

請在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號后的方框涂黑。

22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，切于點，直線交于，兩點，垂足為。

（I）證明：；

（II）若，求的直徑。

【答案】（I）證明見解析；（II）。

【解析】

試題分析：（I）先證，再證，進而可證；（II）先由（I）知平分，進而可得的值，再利用切割線定理可得的值，進而可得的直徑。

試題解析：（I）因為DE為圓O的直徑，則，

又BCDE，所以CBD+EDB=90°，從而CBD=BED.

又AB切圓O于點B，得DAB=BED，所以CBD=DBA.

（II）由（I）知BD平分CBA，則，又，從而，

所以，所以。

由切割線定理得，即=6，

故DE=AE-AD=3，即圓O的直徑為3.

考點：1、直徑所對的圓周角；2、弦切角定理；3、切割線定理。

23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）。以原點為極點，軸正半軸為極軸

建立極坐標系，的極坐標方程為。

（I）寫出的直角坐標方程；

（II）為直線上一動點，當到圓心的距離最小時，求的直角坐標。

【答案】（I）；（II）。

【解析】

試題分析：（I）先將兩邊同乘以可得，再利用，可得的直角坐標方程；（II）先設的坐標，則，再利用二次函數的性質可得的最小值，進而可得的直角坐標。

試題解析：（I）由，

從而有。

（II）設，則，

故當t=0時，|PC|取最小值，此時P點的直角坐標為（3，0）。

考點：1、極坐標方程化為直角坐標方程；2、參數的幾何意義；3、二次函數的性質。

24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

已知關于的不等式的解集為。

（I）求實數，的值；

（II）求的最大值。

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