2015年陜西高考理科數(shù)學(xué)試題答案（word版）

2015年陜西高考理科數(shù)學(xué)試題答案（word版）

整體理科數(shù)學(xué)考試難度：（五顆為很難）

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2015年陜西省高考理科數(shù)學(xué)試題答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）

1.1.設(shè)集合，則（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

試題分析：，所以，故選A.

考點(diǎn)：1、一元二次方程；2、對數(shù)不等式；3、集合的并集運(yùn)算。

2.某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師

的人數(shù)為（ ）

A.167 B.137 C.123 D.93

【答案】B

考點(diǎn)：扇形圖。

3.如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)

可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（ ）

A.5 B.6 C.8 D.10

【答案】C

【解析】

試題分析：由圖象知：，因?yàn)?，所以，解得：，所以這段時(shí)間水深的最大值是，故選C.

考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

4.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為15，則（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7

【答案】C

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理。

5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

試題分析：由三視圖知：該幾何體是半個圓柱，其中底面圓的半徑為，母線長為，所以該幾何體的表面積是，故選D.

考點(diǎn)：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積。

6.“”是“”的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

試題分析：因?yàn)椋曰?，因?yàn)椤啊薄啊?，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要條件，故選A.

考點(diǎn)：1、二倍角的余弦公式；2、充分條件與必要條件。

7.對任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B

考點(diǎn)：1、向量的模；2、向量的數(shù)量積。

8.根據(jù)右邊的圖，當(dāng)輸入x為2006時(shí)，輸出的（ ）

A.28 B.10 C.4 D.2

【答案】B

【解析】[來源：]

試題分析：初始條件：；第1次運(yùn)行：；第2次運(yùn)行：；第3次運(yùn)行：；；第1003次運(yùn)行：；第1004次運(yùn)行：。不滿足條件，停止運(yùn)行，所以輸出的，故選B.

考點(diǎn)：程序框圖。

9.設(shè)，若，則下列關(guān)系

式中正確的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

考點(diǎn)：1、基本不等式；2、基本初等函數(shù)的單調(diào)性。

10.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料。已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料

的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最

大利潤為（ ）

A.12萬元 B.16萬元 C.17萬元 D.18萬元

【答案】D

【解析】

試題分析：設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為、噸，則利潤

由題意可列，其表示如圖陰影部分區(qū)域：

當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以，故選D.

考點(diǎn)：線性規(guī)劃。

11.設(shè)復(fù)數(shù)，若，則的概率為（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

試題分析：

如圖可求得，陰影面積等于

若，則的概率是，故選B.

考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的模；2、幾何概型。

12.對二次函數(shù)（a為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有

一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是（ ）

A.-1是的零點(diǎn) B.1是的極值點(diǎn)

C.3是的極值 D. 點(diǎn)在曲線上

【答案】A

考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值。

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）

13.中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為 .

【答案】

【解析】

試題分析：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，則，所以，故該數(shù)列的首項(xiàng)為，所以答案應(yīng)填：。

考點(diǎn)：等差中項(xiàng)。

14.若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個焦點(diǎn)，則p= .

【答案】

考點(diǎn)：1、拋物線的簡單幾何性質(zhì)；2、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。

15.設(shè)曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線與曲線上點(diǎn)p處的切線垂直，則p的坐標(biāo)

為 .

【答案】

【解析】

試題分析：因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，設(shè)的坐標(biāo)為（），則，因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，因?yàn)椋?，即，解得，因?yàn)?，所以，所以，即的坐?biāo)是，所以答案應(yīng)填：。

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、兩條直線的位置關(guān)系。

16.如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表

示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為 .

【答案】

【解析】

試題分析：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

原始的最大流量是，設(shè)拋物線的方程為（），因?yàn)樵搾佄锞€過點(diǎn)，所以，解得，所以，即，所以當(dāng)前最大流量是，故原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值是，所以答案應(yīng)填：。

考點(diǎn)：1、定積分；2、拋物線的方程；3、定積分的幾何意義。

三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。）

17.（本小題滿分12分）的內(nèi)角，所對的邊分別為，。向量

與平行。

（I）求；

（II）若，求的面積。

【答案】（I）；（II）。[來源：ZXXK]

試題解析：（I）因?yàn)?，所以?/p>

由正弦定理，得

又，從而，

由于，所以

（II）解法一：由余弦定理，得

而

得，即

因?yàn)?，所以?/p>

故ABC的面積為。

考點(diǎn)：1、平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面積公式。

18.（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，

，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)。將沿折起到的位置，如圖。

（I）證明：平面；

（II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值。

【答案】（I）證明見解析；（II）。

試題解析：（I）在圖1中，

因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn)，BAD=，所以BE AC

即在圖2中，BE ，BE OC

從而BE平面

又CDBE，所以CD平面。

[來源：Z。xx。k.Com]

（II）由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE ，BE OC

所以為二面角的平面角，所以。

如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椋?/p>

所以

得 ，。

設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，

則，得，取，

，得，取，

從而，

即平面與平面夾角的余弦值為。

考點(diǎn)：1、線面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標(biāo)系；4、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用。

19.（本小題滿分12分）設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為，只與道路暢通狀況有關(guān)，

對其容量為的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：[來源：Z,xx,k.Com]

（分鐘）253035[來源：ZXXK]40

頻數(shù)（次）20304010

（I）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（II）劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從

離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率。

【答案】（I）分布列見解析，；（II）。

【解析】

試題分析：（I）先算出的頻率分布，進(jìn)而可得的分布列，再利用數(shù)學(xué)期望公式可得數(shù)學(xué)期望；（II）先設(shè)事件表示“劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過分鐘”，再算出的概率。

試題解析：（I）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分步為

（分鐘）25303540

頻率0.20.30.40.1

以頻率估計(jì)概率得T的分布列為

25303540

0.20.30.40.1

從而 （分鐘）

（II）設(shè)分別表示往、返所需時(shí)間，的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同。設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過120分鐘”，由于講座時(shí)間為50分鐘，所以事件A對應(yīng)于“劉教授在途中的時(shí)間不超過70分鐘”。

解法一：

.

解法二：

故。

考點(diǎn)：1、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；2、獨(dú)立事件的概率。

20.（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)

，的直線的距離為。

（I）求橢圓的離心率；

（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方

程。

【答案】（I）；（II）。

【解析】

試題分析：（I）先寫過點(diǎn)，的直線方程，再計(jì)算原點(diǎn)到該直線的距離，進(jìn)而可得橢圓的離心率；（II）先由（I）知橢圓的方程，設(shè)的方程，聯(lián)立，消去，可得和的值，進(jìn)而可得，再利用可得的值，進(jìn)而可得橢圓的方程。

試題解析：（I）過點(diǎn)（c,0），（0,b）的直線方程為，

則原點(diǎn)O到直線的距離，

由，得，解得離心率。

（II）解法一：由（I）知，橢圓E的方程為。 （1）

依題意，圓心M（-2,1）是線段AB的中點(diǎn)，且。

易知，AB不與x軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入（1）得

設(shè)則

由，得解得。

從而。

于是。

由，得，解得。

故橢圓E的方程為。

解法二：由（I）知，橢圓E的方程為。 （2）

依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M（-2,1）對稱，且。

設(shè)則，

兩式相減并結(jié)合得。

易知，AB不與x軸垂直，則，所以AB的斜率

因此AB直線方程為，代入（2）得

所以，。

于是。

由，得，解得。

故橢圓E的方程為。

考點(diǎn)：1、直線方程；2、點(diǎn)到直線的距離公式；3、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關(guān)系；7、直線與圓錐曲線的位置。

21.（本小題滿分12分）設(shè)是等比數(shù)列，的各項(xiàng)和，其中，

.

（I）證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)（記為），且；

（II）設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比較

與的大小，并加以證明。

【答案】（I）證明見解析；（II）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，證明見解析。

【解析】

試題分析：（I）先利用零點(diǎn)定理可證在內(nèi)至少存在一個零點(diǎn)，再利用函數(shù)的單調(diào)性可證在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)，進(jìn)而利用是的零點(diǎn)可證；（II）先設(shè)，再對的取值范圍進(jìn)行討論來判斷與的大小，進(jìn)而可得和的大小。

試題解析：（I）則

所以在內(nèi)至少存在一個零點(diǎn)。

又，故在內(nèi)單調(diào)遞增，

所以在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)。

因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，即，故。

考點(diǎn)：1、零點(diǎn)定理；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。

請?jiān)?2、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號后的方框涂黑。

22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，切于點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，垂足為。

（I）證明：；

（II）若，求的直徑。

【答案】（I）證明見解析；（II）。

【解析】

試題分析：（I）先證，再證，進(jìn)而可證；（II）先由（I）知平分，進(jìn)而可得的值，再利用切割線定理可得的值，進(jìn)而可得的直徑。

試題解析：（I）因?yàn)镈E為圓O的直徑，則，

又BCDE，所以CBD+EDB=90°，從而CBD=BED.

又AB切圓O于點(diǎn)B，得DAB=BED，所以CBD=DBA.

（II）由（I）知BD平分CBA，則，又，從而，

所以，所以。

由切割線定理得，即=6，

故DE=AE-AD=3，即圓O的直徑為3.

考點(diǎn)：1、直徑所對的圓周角；2、弦切角定理；3、切割線定理。

23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）。以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸

建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為。

（I）寫出的直角坐標(biāo)方程；

（II）為直線上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時(shí)，求的直角坐標(biāo)。

【答案】（I）；（II）。

【解析】

試題分析：（I）先將兩邊同乘以可得，再利用，可得的直角坐標(biāo)方程；（II）先設(shè)的坐標(biāo)，則，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得的最小值，進(jìn)而可得的直角坐標(biāo)。

試題解析：（I）由，

從而有。

（II）設(shè)，則，

故當(dāng)t=0時(shí)，|PC|取最小值，此時(shí)P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（3，0）。

考點(diǎn)：1、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；2、參數(shù)的幾何意義；3、二次函數(shù)的性質(zhì)。

24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

已知關(guān)于的不等式的解集為。

（I）求實(shí)數(shù)，的值；

（II）求的最大值。

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