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分式線性函數篇一
7、對勾函數y?x?
a
0),(0，??)上為增函數 是奇函數,a?0時,在區(qū)間(??，x
a?0時,在(0a],[?a,0)遞減 在(??，?a],[,??)遞增
8.分式函數
典例分析
1．(2007海南、寧夏理)設函數f(x)?2．（2009重慶卷理）若f(x)?3若函數h(x)?2x?
a．[?2,??)
(x?1)(x?a)
為奇函數，則a?．
x
?a是奇函數，則a?． 2x?
1（）
kk
?在(1,??)上是增函數，則實數k的取值范圍是 x
3b．[2,??)
c．(??,?2]
d．(??,2]
4.（2009全國卷ⅱ理）曲線y?
x
在點?1,1?處的切線方程為 2x?1
a.x?y?2?0b.x?y?2?0c.x?4y?5?0d.x?4y?5?0
ax?1?4?
a???的圖象關于直線y?x對稱，則a=。
4x?5?5?
x
2(x?r)的值域是 6.（2007浙江文）函數y?2
x?1
7.（2002全國理科）函數
y?1?的圖象是（）
5.若函數y?
ex?e?x(2009山東)函數y?x的圖像大致為().?x
e?e
d
a
9.（12分）函數f(x)?2x?
a的定義域為(0,1]（a為實數）.x
（1）當a??1時，求函數y?f(x)的值域；
（2）若函數y?f(x)在定義域上是減函數，求a的取值范圍；
10.（13分）已知函數f(x)的圖象與函數h(x)?x?解析式（2）若g(x)=f(x)+
1?2的圖象關于點a（0，1）對稱.（1）求函數f(x)的xa，且g(x)在區(qū)間（0，2]上的值不小于6，求實數a的取值范圍.x
x?a（a、b為常數）.x?b
⑴若b?1，解關于x的不等式f(x?1)?0；
5⑵當x?[?1,2]，f(x)的值域為[,2]，求a、b的值.411、（2009重慶八中）已知函數f(x)?
x2?(1?p)x?p(p?0)
12、（2009西南師大附中）已知f(x)?2x?p
（1）若p > 1時，解關于x的不等式f(x)?0；
（2）若f(x)?2對2?x?4時恒成立，求p的范圍．
分式線性函數篇二
12—分式函數
專題12分式函數2011.7
【學習目標】
1、熟悉分式函數的代數和幾何特征，掌握分式函數的單調性、最值的求法；
2、能數形結合地處理分式函數、基本不等式等相關的問題.【例題選講】
例1 已知函數y?b
x?a（為常數，且a?0，b?0），求
（1）圖像所經過的象限；
（2）它的對稱中心；
（3）單調區(qū)間.例2 討論f(x)?ax?b
x（a?0,b?r,b?0）的單調性.（1）設x?1，求函數f(x)?x
2例2x?3的最大值；
（2）函數f(x)?2 x2
（3）函數y??2
x在[1,3]上的最大值與最小值；
（4）若不等式x2?ax?1?0對于x?(0,12)恒成立，求a的范圍.【課后習題】
1、函數y?2x?
1x?3的值域為__________.2、函數f(x)?x?a
x(a?0)的單調遞增區(qū)間__________.3、函數f(x)?x?m
m?1?x的對稱中心是(3,n)，則m?2n?________.4、函數y?b
x?a（a、b為常數，且a?0，b?0）的圖像所經過的象限是__________.5、設x?1，則函數f(x)?x
2x?1的最小值是___________.6、已知f(x)?x?
52x?m的圖像是直線y?x對稱，則m?__________.7、設函數f(x)??x
1?|x|(x?r)，區(qū)間m?[a,b]，集合n?{y|y?f(x),x?m}，則使m?n成立的實數對(a,b)有________個.8、設函數f(x)?2x?
1x?1(x?0)，則f(x)（）
a．有最大值；b．有最小值；c．是增函數；d．是減函數.9、函數y?x
x?1(x??1)的反函數是（）
a．y?x b．y??x
x?1(x?1)；x?1(x?1)；
c．y?x?
1x(x?0)；d．y?1?x
x(x?0).10、關于問題“函數f(x)?
x(???
??)的最大值、最小值與函數
g(x)?x?z)的最大值與最小值”，下列說法正確的是（）
a．f(x)有最大、最小值，g(x)有最大、最小值；
b．f(x)有最大、最小值，g(x)無最大、最小值；
c．f(x)無最大、最小值，g(x)有最大、最小值；
d．f(x)無最大、最小值，g(x)無最大、最小值.-2-
11、設x?
0，若函數f(x)?a的取值范圍并求出此最小值.12、設f(x)?x?a
x?1(a?r)，x?[0,??)，求f(x)的最小值.13、已知函數f(x)?x2?a
x(x?0,a?r)，（1）判斷函數f(x)的奇偶性；
（2）若f(x)在區(qū)間[2,??)是增函數，求實數a的取值范圍.14、若函數f(x)?x?2
x?1的圖像是由函數y?g(x)的圖像由右平移2個單位，再向下平移
1個單位所得
求：（1）函數g(x)的解析式；（2）y?g(x)的對稱中心.
分式線性函數篇三
函數與導數專題（文）
分式函數
2x?11．函數f?x??x的值域為2?1
說明：引出分式函數基本做法，突出對勾形式函數f(x)?x?
質。
2．（浙江卷文8）若函數f(x)?x?2a(a?r)的圖象與基本性xa(a?r)，則下列結論正確的是x
a．?a?r，f(x)在(0,??)上是增函數
b．?a?r，f(x)在(0,??)上是減函數
c．?a?r，f(x)是偶函數
d．?a?r，f(x)是奇函數
t2?4t?13．【2010·重慶文數】已知t?0，則函數y?的最小值為____________.t
x2?3x?3,(x??1)的值域為變式練習：①函數f?x??x?1
②函數f?x??
③函數f?x??
4．【2010·天津文數】設函數f(x)=x-
則實數m的取值范圍是________.?x?y?2?05．動點p(a,b)在不等式組?表示的平面區(qū)域內部及其邊界上運動，則??a?b?3的取值范圍?x?y?0a?1?y?0?x?1,(x??1)的值域為2x?3x?3sinx?cosx?1???,x??0,?的值域為2sinxcosx?2?1,對任意x?[1,??），f(mx)+mf(x)<0恒成立，x
是．
例題1：經市場調查，某旅游城市在過去的一個月內（以30天計），日旅游人數f(t)（萬人）與時間t（天）的函數關系近似滿足f(t)?4?1，人均消費g(t)（元）與時間（的函數關系近似滿足g(t)?115?|t?15|.t天）
t
（ⅰ）求該城市的旅游日收益w(t)（萬元）與時間t(1?t?30,t?n)的函數關系式；
（ⅱ）求該城市旅游日收益的最小值（萬元）
例題2：【2010·江蘇卷】將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，2(梯形的周長）其中一塊是梯形，記s?,求s的最小值。梯形的面積
【解析】考查函數中的建模應用，等價轉化思想，一題多解.設剪成的小正三角形的邊長為x，則：s?2(3?x)2
?(0?x?1)21?x方法一:利用導數求函數最小值
.(3?x)2(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，s?(x)? s(x)?222(1?
x)1?
x(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)?2(3x?1)(x?3)??2222(1?x)(1?x)1s?(x)?0,0?x?1,x?，3
11當x?(0,]時，s?(x)?0,遞減；當x?[,1)時，s?(x)?0,遞增； 33
故當x?1時，s的最小值是。33
方法二:利用函數的方法求最小值.t211112?令3?x?t,t?(2,3),?
(,)，則：s? 86t32?t?6t?8???1t2t
故當?
1t31,x?時，s
.83
分式線性函數篇四
分式函數值域解法匯編
甘肅省定西工貿中專文峰分校 張占榮
函數既是中學數學各骨干知識的交匯點，是數學思想，數學方法應用的載體，是初等數學與高等數學的銜接點，還是中學數學聯(lián)系實際的切入點，因此函數便理所當然地成為了歷年高考的重點與熱點，考查函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、反函數以及函數圖象。而對函數值域的考查或是單題形式出現，但更多的是以解題的一個環(huán)節(jié)形式出現，其中求分式函數的值域更是學生失分較大知識點之一。為此，如何提高學生求分式函數值域的能力，是函數教學和復習中較為重要的一環(huán)，值得探討。下面就本人對分式函數值域的教學作如下探究，不餒之處、敬請同仁指教。
一、相關概念
函數值是指在函數y＝f(x)中，與自變量x的值對應的y值。
函數的值域是函數值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數y的集合。函數的值域由函數的定義域及其對應法則唯一確定；當函數由實際問題給出時，函數的值域由問題的實際意義確定。
分式函數是指函數解析式為分式形式的函數。
二、分式函數的類型及值域解法
類型一：一次分式型
一次分式型是指分子與分母都是關于自變量x（或參數）的一次函數的分式函數。
1.y=(a0)型
例１ 求函數y=的值域。
解法一：常數分離法。將y=轉化為y=（k1,k2為常數），則yk1 解：∵y==，∴
y。
解法二：反函數法。利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。
解：反解y=得x=，對調 y=（x)，∴函數y=的值域為
y。
2.y=(a0)型
分析：這是一道含三角函數的一次分式函數，由于含三角函數，不易直接解出x，但其有一個特點：只出現一種三角函數名?？梢钥紤]借助三角函數值域解題，其實質跟y=（t=sinx）在t的指定區(qū)間上求值域類似。
即：將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。
例２ 求函數y=的值域。
解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。
3.y=或y=(a0)型
分析：這道題不僅含有三角函數，且三角函數不同，例2解法行不通，但反解之后會出現正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法。
即：去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題。
例３ 求函數y=
解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。
∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函數的值域為[，0]。
總結：求一次分式函數的值域，首先要看清楚是在整個定義域內，還是在指定區(qū)間上；其次用反函數法解題；再次還要注意含三角函數的分式函數，其實質是在指定區(qū)間上求分式函數的值域。
類型二：二次分式型
二次分式型是指分子與分母的最高次項至少有一項是關于x的二次函數。由于出現了x2項，直接反解x的方法行不通。但我們知道，不等式、函數、方程三者相互聯(lián)系，可以相互轉化。所以可考慮將其轉化為不等式或方程來解題。
１.y=(a、d不同時為0)，x∈r型
分析：去分母后，可將方程看作是含參數y的二次方程f(x)=0。由于函數的定義域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數的值域。
≥0（=f(y)）,即：用判別式法。先去分母，得到含參數y的二次方程f(x)=0,根據判別式
即可求出值域。
例４ 求函數y=的值域。
解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。
當y＝0時，x＝0，當y≠0時，由△≥0得-
∵函數定義域為r，≤y≤。
∴函數y＝的值域為[-，]。
說明：判別式法求二次函數的值域只適用于在整個定義域內，但不能用其在指定的區(qū)間上求二次函數的值域，否則就會放大值域。
2.y=(a、d不同時為0)，指定的區(qū)間上求值域型。
例５ 求（x<）的值域。
分析：因為x<，所以若用判別式法，可能會放大其值域?？梢钥紤]使用均值定理解題。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。
∴=1-4x+
=[(5-4x)+ ]-
4≥
2=-2，∴原函數的值域為。-4
例６ 求的值域。
錯解：=≥2。
分析：在使用均值定理時一定要注意使用條件“一定、二正、三相等”，顯然上述解法中和不能相等，“相等”條件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判別式法又無法解決根式問題，此時可考慮借函數的單調性求值域。
解：用單調性法
=，令=t，顯然t≥2，則y=t
+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,則f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。
∴f(t1)< f(t2)，即函數y=t+ 在t≥2上單調遞增。
∴當t=
2、即=
2、x=0時，ymin
=，∴原函數的值域為。
總結：不管是求一次分式函數，還是求二次分式函數的值域，都必須注意自變量的取值范圍。雖然我們提倡通解通法的培養(yǎng)，但一定要看到只有對一類題才可以用通解通法。若失去同一類前提，只強調通解通法，便是空中樓閣。故要因題而論，就事論事，防止一概而論的錯誤，用辯證和發(fā)展的眼光看待問題，這樣才會起到事半功倍的效果。
三、提煉知識，總結分式函數值域解法
求函數的值域是高中數學的難點之一，它沒有固定的方法和模式。但我們可以針對不同的題型進行歸類總結，盡最大可能地尋找不同類型分式函數求值域的通解通法。常用的方法有：
1.反函數法。反函數法是求一次分式函數的基本方法，是利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。但要注意看清楚是在整個定義域內，還是在指定區(qū)間上求值域。
2.判別式法。判別式法是求二次分式函數的基本方法之一，即先去分母，把函數轉化成關于x的二次方程f(x，y)＝0，因為方程有實根，所以判別式△≥0，通過解不等式求得原函數的值域。需注意的是判別式法求二次函數的值域只適用于在整個定義域內。
3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈r＋)，是在指定區(qū)間上求二次分式函數的基本方法之一，當二次分式函數在指定區(qū)間上求值域時可考慮用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用條件：“一正、二定、三相等”。
4.換元法。換元法是求復合型分式函數值域的常用方法。當分式函數的分子或分母出現子函數（如三角函數）時，可考慮用換元法，將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。
5.單調性法。單調性法是通過確定函數在定義域(或某個定義域的子集)上的單調性求出函數的值域的方法。
另外，還可以根據函數的特點，利用數形結合或求導數的方法求分式函數的值域。由于這些方法不是很常用，在此就不多做說明
分式線性函數篇五
關于y=f（x）=x^2/1+x^2函數求值問題
如果記y=x^2/1+x^2=f（x），并且f（1）表示當x=1時y的值，即f（1）=1^2/1+1^2=1/2；f（1/2）表示當x=1/2時y的值，即f（1/2）=（1/2）^2/1+（1/2）^2=1/5，求f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）的值（結果用含n的代數式表示，n為正整數）
解：
因為f（x）=x^2/1+x^2
所以f(1/x)=(1/x)^2/[1+(1/x)^2]上下乘x^2
=1/(1+x^2)
所以f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+1/(1+x^2)=(1+x^2)/(1+x^2)=1 所以f(1)=1/(1+1)=1/2
f(2)+f(1/2)=1
……
f(n)+f(1/n)=1
所以f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）
=1/2+1+1+……+1
=1/2+(n-1)
=n-1/2
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