最新均值不等式證明方法通用(五篇)

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最新均值不等式證明方法通用(五篇)
時(shí)間:2023-04-03 09:53:11     小編:zdfb

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均值不等式證明方法篇一

3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a24、設(shè)a,b?r?,且a?b?1,求證:(a?)?(b?)?

5、若a?b?1,求證:asinx?bcosx?

16、已知a?b?1,求證:a?b?

7、a,b,c,d?r求證:1<?441a21b225 2221 8abcd+++<2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c11118、求證2?2?2???2<2 123n

1111????<1

9、求證:?2n?1n?22n10、求下列函數(shù)的最值

(1)已知x>0,求y?2?x?

(2)已知x>2,求y?x?4的最大值(-2)x1的最小值(4)x?

2111(3)已知0<x<,求y?x(1?2x)的最大值()221611、若正數(shù)a,b滿足ab?(a?b)?1則a?b的最小值是()

(2?2333)

12、已知正數(shù)a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值為()(4)

13、求函數(shù)y?

14、二次函數(shù)f(x)?x?ax?x?a的兩根x1,x2滿足0<x1<x2< 1,求a的取值范圍()(0,15、關(guān)于x的方程x?2m(x?3)?2m?14?0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且一個(gè)大于1,一個(gè)小于1,則m的取值范圍是()(m<-

22221)

416、關(guān)于x的方程mx?2x?1?0至少有一個(gè)負(fù)根,則m的取值范圍是(m?1)

17、關(guān)于x的方程2kx?2x?3k?2?0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,求實(shí)數(shù)k的取值范圍(k>0或k<-4)

218、為使方程x2?2px?1?0的兩根在(-2,2)內(nèi),求p的取值范圍(-<p<

19、函數(shù)f(x)?ax2?x?1有零點(diǎn),則a的取值范圍是(a?

20、判斷函數(shù)f(x)?x-

21、已知方程x?22343)41)41?1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(一個(gè))x3?95?x?k在??1,1?上有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍(??,?)2?162?

22、已知方程7x2?(m?13)x?m2?m?2?0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且一根在(0,1),一根在(1,2)上,求m的取值范圍((?2,?1)?(3,4))

23、關(guān)于的方程2ax?x?1?0在(0,1)內(nèi)恰有一解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍(1,??)

24、若關(guān)于的方程lg(x

x2x2?20x)?lg(8x?6a?3)?0有唯一實(shí)根,求a的取值范圍

均值不等式證明方法篇二

常用均值不等式及證明證明

這四種平均數(shù)滿足hn?gn?

an?qn

?、ana1、a2、?r?,當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2??

?an時(shí)取“=”號(hào)

僅是上述不等式的特殊情形,即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上簡化,有一個(gè)簡單結(jié)論,中學(xué)常用

均值不等式的變形:

(1)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,有a

2?b2?2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)),a,b?0?2ab

(4)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,有

a?a-b??b?a-b?

a2?b2?

2ab?0

(5)對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,有

(8)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c,有

a2?

b2?c2?ab?bc?ac

a?b?c?abc(10)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c,有

均值不等式的證明:

方法很多,數(shù)學(xué)歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用數(shù)學(xué)歸納法證明,需要一個(gè)輔助結(jié)論。

引理:設(shè)a≥0,b≥0,則?a?b??an?na?n-1?b

n

注:引理的正確性較明顯,條件a≥0,b≥0可以弱化為a≥0,a+b≥0(用數(shù)學(xué)歸納法)。

當(dāng)n=2時(shí)易證;

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,即

那么當(dāng)n=k+1時(shí),不妨設(shè)ak?1是則設(shè)

a1,a2,?,ak?1中最大者,kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak

用歸納假設(shè)

下面介紹個(gè)好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式:上凸函數(shù)f?x?,x1,x2,?,xn是函數(shù)f?x?在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn),設(shè)f?x??lnx,f

?x?為上凸增函數(shù)所以,在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)

均值不等式證明方法篇三

均值不等式證明

一、已知x,y為正實(shí)數(shù),且x+y=1求證

xy+1/xy≥17/

41=x+y≥2√(xy)

得xy≤1/4

而xy+1/xy≥

2當(dāng)且僅當(dāng)xy=1/xy時(shí)取等

也就是xy=1時(shí)

畫出xy+1/xy圖像得

01時(shí),單調(diào)增

而xy≤1/4

∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

得證

繼續(xù)追問:

拜托,用單調(diào)性誰不會(huì),讓你用均值定理來證

補(bǔ)充回答:

我真不明白我上面的方法為什么不是用均值不等式證的法二:

證xy+1/xy≥17/4

即證4(xy)2-17xy+4≥0

即證(4xy-1)(xy-4)≥0

即證xy≥4,xy≤1/4

而x,y∈r+,x+y=

1顯然xy≥4不可能成立

∵1=x+y≥2√(xy)

∴xy≤1/4,得證

法三:

∵同理0

xy+1/xy-17/4

=(4x2y2-4-17xy)/4xy

=(1-4xy)(4-xy)/4xy

≥0

∴xy+1/xy≥17/4

試問怎樣叫“利用均值不等式證明”,是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!

二、已知a>b>c,求證:1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)

于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0

即:1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】

那么

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)

≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】

≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0

三、1、調(diào)和平均數(shù):hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、幾何平均數(shù):gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算術(shù)平均數(shù):an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數(shù):qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n這四種平均數(shù)滿足hn≤gn≤an≤qn的式子即為均值不等式。

概念:

1、調(diào)和平均數(shù):hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、幾何平均數(shù):gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算術(shù)平均數(shù):an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數(shù):qn=√

這四種平均數(shù)滿足hn≤gn≤an≤qn

a1、a2、…、an∈r+,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)勸=”號(hào)

均值不等式的一般形式:設(shè)函數(shù)d(r)=^(1/r)(當(dāng)r不等于0時(shí));

(a1a2...an)^(1/n)(當(dāng)r=0時(shí))(即d(0)=(a1a2...an)^(1/n))

則有:當(dāng)r注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形,即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)

由以上簡化,有一個(gè)簡單結(jié)論,中學(xué)常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√

方法很多,數(shù)學(xué)歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用數(shù)學(xué)歸納法證明,需要一個(gè)輔助結(jié)論。

引理:設(shè)a≥0,b≥0,則(a+b)^n≥a^n+na^(n-1)b。

注:引理的正確性較明顯,條件a≥0,b≥0可以弱化為a≥0,a+b≥0,有興趣的同學(xué)可以想想如何證明(用數(shù)學(xué)歸納法)。

原題等價(jià)于:((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。

當(dāng)n=2時(shí)易證;

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,即

((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么當(dāng)n=k+1時(shí),不妨設(shè)a(k+1)是a1,a2,…,a(k+1)中最大者,則

ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。

設(shè)s=a1+a2+…+ak,{/(k+1)}^(k+1)

={s/k+/}^(k+1)

≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理

=(s/k)^k*a(k+1)

≥a1a2…a(k+1)。用歸納假設(shè)

下面介紹個(gè)好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式:上凸函數(shù)f(x),x1,x2,...xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn),則有:f≥1/n*

設(shè)f(x)=lnx,f(x)為上凸增函數(shù)

所以,ln≥1/n*=ln

即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)

在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)。

均值不等式證明方法篇四

用均值不等式證明不等式

【摘要】:不等式的證明在競賽數(shù)學(xué)中占有重要地位.本文介紹了用均值不等式證明幾個(gè)不等式,我們?cè)谧C明不等式時(shí),常用到均值不等式。要求我們要認(rèn)真分析題目,本文通過幾個(gè)國內(nèi)外競賽數(shù)學(xué)的試題,介紹用均值不等式證明初等不等式的基本方法及技巧。

【關(guān)鍵詞】:均值不等式;不等式;方法;技巧

均值不等式

設(shè) a1、a2、?、an 是 n 個(gè) 正數(shù),則不等式h(a)?g(a)?a(a)?q(a)稱為均值不等式[1].其中

h(a)?

n

1a

1?1a

2???

1an,g(a)?

a1a2a1a?an,a(n)?

a1?a2???an

n

22,2

q(n)?

a1?a2???an

n

?、an 的調(diào)和不等式,幾何平均值,算術(shù)平均值,均方根平均分別稱為 a1、a2、值.

例1設(shè)a1、a2、…、an均為正,記

?(n)?n(a1?a2???an

n

?

a1a2?an)

試證:?(n)??(n?1),并求等號(hào)成立的條件.

證明由所設(shè)條件,得

?(n)??(n?1)

=n(a1?a2???an

n

?

n

a1a2?an)?(n?1)(a1?a2??an?

1n?1

?

n?1

a1a2?an?1)

=a1?a2???an?nna1a2?an?(a1?a2???an?1)?(n?1)n?1a1a2?an?1

=an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n,n?1

???(a1a2?an?1)n?1,有 將g(a)?a(a)應(yīng)用于n個(gè)正數(shù):an,(a1a2?an?1)

?????????????????

n?1個(gè)

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1

n

?(a1a2?an)n,即

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n.

所以?(n)??(n?1),當(dāng)且僅當(dāng)an?(a1a2?an?1)立.

n?1,即ann?1?a1a2?an?時(shí)等號(hào)成1

此題不只是公式的直接應(yīng)用.代表了均值不等式中需要挖掘信

?、an 的一類題. 息找a1、a2、例2設(shè)x?y?z?0,求證:6(x3?y3?z3)2?(x2?y2?z2)3. 證明當(dāng)x?y?z?0時(shí)不等式顯然成立.

除此情況外,x、y、z中至少有一正一負(fù).不妨設(shè)xy?0,因?yàn)?/p>

z??(x?y),所以

i?6(x?y?z)?6[x?y?(x?y)]?6[?3xy(x?y)]?54xyz

若由此直接用g(a)?a(a)(n?3),只能得到較粗糙的不等式

i?54xyz?54(x?y?z

2)?2(x?y?z),3222

3如果改用下面的方法,用g(a)?a(a),便得

i?54xyz

222

?216

xy2

?

xy2

?z

?xy?xy2???z?

??(2z2?2xy)3,?216???3????

再注意到x2?y2?(x?y)2?2xy?z2?2xy,因而2z2?2xy?x2?y2?z2,于是即得欲證的不等式.

此題解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造a1、a2、?、an通常需要拓寬思路多次嘗試,此類也屬均值不等式的??碱愵}. 例3設(shè)x?0,證明:2

x

?2

x

?2?2

x

.(第16屆全蘇數(shù)學(xué)競賽試題[2])

證明此不等式的外形有點(diǎn)像均值不等式. 由g(a)?a(a),得

x?2

x

x

?2

x

?2?2

x

?2

x

?2?2,又

x?2

x

1111

?(x12x4)2?x6,即得要證的不等式.

結(jié)語

有些不等式則可以利用某個(gè)已經(jīng)證明成立的不等式來證明(因此多熟悉幾個(gè)比較常見的不等式是有好處的);有些不等式還要用數(shù)學(xué)歸納法來證明等等.而且在一個(gè)題目的證明過程中,也往往不止應(yīng)用一種方法,而需要靈活運(yùn)用各種方法.因此,要培養(yǎng)和提高自己的證題能力。

參考文獻(xiàn)

[1]陳傳理等編.?dāng)?shù)學(xué)競賽教程 [m].北京:高等教育出版設(shè),1996,(10):

133-134.

[2]常庚哲等編.高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座[m].上海:上??茖W(xué)技術(shù)出版社,1987.38-49

均值不等式證明方法篇五

均值不等式的證明

設(shè)a1,a2,a3...an是n個(gè)正實(shí)數(shù),求證(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要簡單的詳細(xì)過程,謝謝??!

你會(huì)用到均值不等式推廣的證明,估計(jì)是搞競賽的把

對(duì)n做反向數(shù)學(xué)歸納法

首先

歸納n=2^k的情況

k=1。。

k成立k+1。。

這些都很簡單的用a+b>=√(ab)可以證明得到

關(guān)鍵是下面的反向數(shù)學(xué)歸納法

如果n成立對(duì)n-1,你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)

然后代到已經(jīng)成立的n的式子里,整理下就可以得到n-1也成立。

所以得證

n=2^k中k是什么范圍

k是正整數(shù)

第一步先去歸納2,4,8,16,32...這種2的k次方的數(shù)

一般的數(shù)學(xué)歸納法是知道n成立時(shí),去證明比n大的時(shí)候也成立。

而反向數(shù)學(xué)歸納法是在知道n成立的前提下,對(duì)比n小的數(shù)進(jìn)行歸納,指“平方平均”大于“算術(shù)平均”大于“幾何平均”大于“調(diào)和平均”

我記得好像有兩種幾何證法,一種三角證法,一種代數(shù)證法。

請(qǐng)賜教!

sqrt{}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根號(hào)(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

證明:

(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n

兩邊平方,即證((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n

(1)如果你知道柯西不等式的一個(gè)變式,直接代入就可以了:

柯西不等式變式:

a1^2/b1+a2^2/b2+...an^2/bn≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)

當(dāng)且僅當(dāng)a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等號(hào)成立

只要令b1=b2=...=bn=1,代入即可

(2)柯西不等式

(a1^2+a2^2+...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2

2.(a1+a2+..an)/n≥n次根號(hào)(a1a2a3..an)

(1)琴生不等式:若f(x)在定義域內(nèi)是凸函數(shù),則nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)

令f(x)=lgx顯然,lgx在定義域內(nèi)是凸函數(shù)

nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg≥

f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an

也即lg≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根號(hào)(a1a2..an)

f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以(a1+a2+..an)/n≥n次根號(hào)(a1a2..an)

(2)原不等式即證:a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an

先證明a^n+b^n≥a^(n-1)b+b^(n-1)a做差(a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))≥0

2*(a1^n+a2^n+...an^n)≥a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)a2...an^(n-1)a1+a1^a(n-1)an

=a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1))...≥a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+...≥...≥2na1a2...an

即a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an

(3)數(shù)學(xué)歸納法:但要用到(1+x)^n>1+nx這個(gè)不等式,不予介紹

3.n次根號(hào)(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

原不等式即證:n次根號(hào)(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n

左邊=n次根號(hào)+n次根號(hào)++n次根號(hào)+...n次根號(hào)

由2得和≥n*n次根號(hào)(它們的積)所以左邊≥n*n次根號(hào)(1)=n

所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

證畢

特例:sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b

證明:

(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2兩邊平方a^2+b^2≥(a+b)^2/4即證(a/2-b/2)^2≥0顯然成立

2.(a+b)/2≥sqrt(ab)移項(xiàng)即證(sqrt(a)-sqrt(b))≥0顯然成立

此不等式中a+b可以表示一條直徑的兩部分,(a+b)/2=rsqrt(ab)就是垂直于直徑的弦,而r≥弦的一半

(ab)≥2/1/a+1/b兩邊同時(shí)乘上1/a+1/b即證sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2

而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2。

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