導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)及反思 導(dǎo)數(shù)幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)(三篇)

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導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)及反思 導(dǎo)數(shù)幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)篇一

本章教學(xué)目標(biāo)與要求

理解導(dǎo)數(shù)的概念，會利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)。了解導(dǎo)數(shù)的物理意義（速度），幾何意義（切線的斜率）和經(jīng)濟(jì)意義（邊際），掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。掌握反函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法，對數(shù)求導(dǎo)法。理解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。理解微分的概念，導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系，以及一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

本章教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1．導(dǎo)數(shù)概念及其求導(dǎo)法則； 2．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；

4．微分的概念，可微和可導(dǎo)的關(guān)系，微分的計(jì)算

§2.1 導(dǎo)數(shù)的概念

教學(xué)目的與要求

1.理解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義.2.掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求平面曲線的切線和法線.3.了解導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系.4.理解左右導(dǎo)數(shù)的概念、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念、利用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)

一、引例

導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(fermat)為研究極值問題而引入的，但與導(dǎo)數(shù)概念直接相聯(lián)系的是以下兩個(gè)問題：已知運(yùn)動規(guī)律求速度和已知曲線求它的切線．這是由英國數(shù)學(xué)家牛頓(newton)和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(leibniz)分別在研究力學(xué)和幾何學(xué)過程中建立起來的．

下面我們以這兩個(gè)問題為背景引入導(dǎo)數(shù)的概念．

1．瞬時(shí)速度

思考：已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律為s?s(t)，t0為某一確定時(shí)刻，求質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)刻的速度。在中學(xué)里我們學(xué)過平均速度

?s，平均速度只能使我們對物體在一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動大致?t情況有個(gè)了解，這不但對于火箭發(fā)射控制不夠，就是對于比火箭速度慢的多的火車、汽車運(yùn)行情況也是不夠的，火車上坡、下坡、轉(zhuǎn)彎、穿隧道時(shí)速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不僅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飛行速度的變化規(guī)律.不過瞬時(shí)速度的概念并不神秘，它可以通過平均速度的概念來把握.根據(jù)牛頓第一運(yùn)動定理，物體運(yùn)動具有慣性，不管它的速度變化多么快，在一段充分短的時(shí)間內(nèi)，它的速度變化總是不大的，可以近似看成勻速運(yùn)動.通常把這種近似代替稱為“以勻代不勻”.設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)

動的路程是時(shí)間的函數(shù) s(t)，則質(zhì)點(diǎn)在 t0到 t0??t 這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為

v?s(t0??t)?s(t0)

?t可以看出它是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0速度的一個(gè)近似值，?t越小，平均速度 v 與 t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度越接近.故當(dāng)?t?0時(shí)，平均速度v就發(fā)生了一個(gè)質(zhì)的飛躍，平均速度轉(zhuǎn)化為物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即物體在 t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為

v?limv?lim?t?0_s(t0??t)?s(t0)（1）

?t?0?t思考：按照這種思想和方法如何計(jì)算自由落體的瞬時(shí)速度？ 因?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動的運(yùn)動方程為：

s?12gt，2按照上面的公式，可知自由落體運(yùn)動在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為

112g(t0??t)2?gt0s(t??t)?s(t0)12v(t0)?lim0?lim2?lim(gt0?g?t)?gt0。?t?0?t?0?t?00?t?t2這正是我們高中物理上自由落體運(yùn)動的速度公式.2．切線的斜率

思考：圓的的切線的定義是什么？這個(gè)定義適用于一般的切線嗎？

引導(dǎo)學(xué)生得出答案：與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線叫做圓的切線，但這個(gè)定義只適用于圓周曲線，并不適用于一般的曲線.因此，曲線的某一點(diǎn)的切線應(yīng)重新定義.（1）切線的概念 曲線c上一點(diǎn)m的切線的是指：在m外另取c上的一點(diǎn)n，作割線mn，當(dāng)點(diǎn)n沿曲線c趨向點(diǎn)m時(shí)，如果割線mn繞點(diǎn)m轉(zhuǎn)動而趨向極限位置mt，直線mt就叫做曲線c在點(diǎn)m處的切線。簡單說：切線是割線的極限位置。這里的極限位置的含義是：只要弦長mn趨于0，?nmt也趨向于0.（如圖所示）

（2）求切線的斜率

設(shè)曲線c為函數(shù)y?f(x)的圖形，m(x0,y0)?c，則y0?f(x0)，點(diǎn)n(x0??x,y0??y)為曲線c上一動點(diǎn)，割線mn的斜率為：

?yf(x0??x)?f(x0)? ?x?x根據(jù)切線的定義可知，當(dāng)點(diǎn)n沿曲線c趨于m時(shí)，即?x?0，割線的斜率趨向于切線的tan??斜率。也就是說，如果?x?0時(shí)，上式的極限存在，則此極限便為切線的斜率記為k，即

k?tan??limf(x0??x)?f(x0)?y?lim

（2）

?x?0?x?x?0?x3.邊際成本

設(shè)某產(chǎn)品的成本c是產(chǎn)量x的函數(shù)c?c(x)，試確定產(chǎn)量為x0個(gè)單位時(shí)的邊際成本。用前兩例類似的方法處理得：

?cc(x0??x)?c(x0)?表示由產(chǎn)量x0變到x0??x時(shí)的平均成本，如果極限 ?x?x?cc(x0??x)?c(x0)lim?

（3）

?x?0?x?x存在，則此極限就表示產(chǎn)量為x0個(gè)單位時(shí)成本的變化率或邊際成本。

思考：上述三個(gè)問題的結(jié)果有沒有共同點(diǎn)？

上述兩問題中，第一個(gè)是物理學(xué)的問題，第二個(gè)是幾何學(xué)問題，第三個(gè)是經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，分屬不同的學(xué)科，但問題都?xì)w結(jié)到求形如

lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x的極限問題.事實(shí)上，在學(xué)習(xí)物理學(xué)時(shí)會發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算諸如物質(zhì)比熱、電流強(qiáng)度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都?xì)w化為討論形如（4）的極限問題.為了統(tǒng)一解決這些問題，引進(jìn)“導(dǎo)數(shù)”的概念.二、導(dǎo)數(shù)的定義

1．導(dǎo)數(shù)的概念

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處取得增量?x（點(diǎn)x0??x仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)，如果極限

f(x0??x)?f(x0)?y?lim

?x?0?x?x?0?xlim存在，則這個(gè)極限叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為

y?x?x0,f(x0),dydxx?x0或df(x)dxx?x0

當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，就說函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，否則就說f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo).特別地，當(dāng)?x?0時(shí)，點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大.關(guān)于導(dǎo)數(shù)有幾點(diǎn)說明：

（1）導(dǎo)數(shù)除了定義中的形式外，也可以取不同的形式，常見的有

?y??，為了方便起見，有時(shí)就說y?f(x)在?xf?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)

hf?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)

x?x0?yf(x0??x)?f(x0)?反映是自變量 x 從x0改變到x0??x時(shí)，函數(shù)f(x)的?x?x?y平均變化速度，稱為函數(shù)f(x)的平均變化率；而導(dǎo)數(shù)f(x0)?lim反映的是函數(shù)f(x)?x?0?x（2）在點(diǎn)x0處的變化速度，稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的變化率。

2．導(dǎo)函數(shù)的概念

上面講的是函數(shù)在某一點(diǎn)處可導(dǎo)，如果函數(shù)y?f(x)在開區(qū)間i的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)y?f(x)在開區(qū)間i內(nèi)可導(dǎo)，這時(shí)，?x?i，都對應(yīng)f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)叫做y?f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作：

y,f(x),即，導(dǎo)函數(shù)的定義式為：

dydf(x)或。dxdxy??lim?x?0f(x??x)?f(x)f(x?h)?f(x).或f?(x)?limh?0?xh在這兩個(gè)式子中，x可以取區(qū)間i的任意數(shù)，然而在極限過程中，x是常量，?x或h才是變量；并且導(dǎo)數(shù)f(x0)恰是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值.3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

我們知道在極限有左、右極限之分，而導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是一個(gè)“比值”的極限。因此，根據(jù)左右極限的定義，不難得出函數(shù)左右導(dǎo)數(shù)的概念。

定義

極限lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)和lim?分別叫做函數(shù)?x?0?x?xf(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，記為f??(x0)和f??(x0).如同左、右極限與極限之間的關(guān)系，顯然：

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)f??(x0)和右導(dǎo)數(shù)f??(x0)都存在并且相等.?(a)和f??(b)都存在，就說f(x)在還應(yīng)說明：如果f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f?閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo).

三、

1．根據(jù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可以

總結(jié)

?yf(x??x)?f(x)? ?x?x?y③ 求極限：y??lim

?x?0?x2．運(yùn)用舉例 ② 算比值：例

1求y?c的導(dǎo)數(shù)（c為常數(shù)）.解 求增量?y?c?c?0 作比值

取極限

lim?y?0 ?x?y?0

?x?0?x所以

(c)?0

即常量的導(dǎo)數(shù)等于零.例

2求函數(shù)y?xn(x?n?)的導(dǎo)數(shù).解 ?y?(x??x)?x?nxnnn?1?x?n(n?1)n?2x(?x)2???(?x)n，2!?yn(n?1)n?2?nxn?1?x?x???(?x)n?1，?x2!?yy?lim?nxn?1，?x?0?x即

(xn)?nxn?1

注意：以后會證明當(dāng)指數(shù)為任意實(shí)數(shù)時(shí)，公式仍成立，即

(x?)???x??1.例如：(x)?(??r)

12x?1，(x)??1x2

例3 求f(x)?sinx的導(dǎo)數(shù).解

(sinx)?limh?0f(x?h)?f(x)sin(x?h)?sinx?lim h?0hhh?limcos(x?)?h?0h22即

sinh2?cosx

(sinx)?cosx.用類似方法，可求得

(cosx)??sinx.例4 求y?logax(a?0,a?1)(1?)loga(x?h)?logaxx 解 y?lim?limh?0h?0hh

hloga(1?)x11hx?lim?limloga(1?)h

h?0hxxh?0xx?所以 1logae x(logax)?1logae x特別地，當(dāng)a?e時(shí)，有

(lnx)?1 x

四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由前面對切線問題的討論及導(dǎo)數(shù)的定義可知：函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)在幾何上表示曲線y?f(x)在點(diǎn)m（x0,f(x0)）處的切線的斜率。因此，曲線y?f(x)在點(diǎn)m（x0,f(x0)）處的切線方程為

y?y0?f?(x0)(x?x0).思考：曲線某一點(diǎn)處切線和法線有什么關(guān)系？能否根據(jù)點(diǎn)m處切線的斜率求點(diǎn)m處的法線方程？ 根據(jù)法線的定義：過點(diǎn)m（x0,f(x0)）且垂直于曲線y?f(x)在該點(diǎn)處的切線的直線叫做曲線y?f(x)在點(diǎn)m（x0,f(x0)）處的法線.如果f?(x0)?0，根據(jù)解析幾何的知識可知，切線與法線的斜率互為倒數(shù)，則可得點(diǎn)m處法線方程為：

y?y0??例5 求雙曲線y?程.1(x?x0).f?(x0)11在點(diǎn)(,2)處的切線的斜率，并寫出該點(diǎn)處的切線方程和法線方

2x解

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所求的切線的斜率為：

k?y所以切線的方程為

121?()x12??1x212??4

1y?2??4(x?)，2即 4x?y?4?0.法線的方程為

y?2?11(x?)，42即

2x?8y?15?0.五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理 函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)連續(xù).證明：因?yàn)槿绻瘮?shù)y?f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，即

?y?f?(x0)?x?0?x，lim從而有

?y?f?(x0)???x，其中，??0(?x?0)，于是

?y?f?(x0)?x???x，因而，當(dāng)?x?0時(shí)，有?y?0。這說明函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)。

思考：定理的逆命題成立嗎？

例6 討論函數(shù)f(x)?x在x?0處是否可導(dǎo)。解

因f??(0)?lim?f(0??x)?f(0)?x?lim?1，?h?0h?0?x?xf(0??x)?f(0)??xf??(0)?lim?lim??1，h?0?h?0??x?x即f(x)在點(diǎn)x?0處的左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)都存在但不相等，從而f(x)?x在x?0處不可導(dǎo)。

注意：通過例7可知，函數(shù)f(x)?x在原點(diǎn)（0,0）處雖然連續(xù)，但該點(diǎn)卻不可導(dǎo)，所以函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，則一定連續(xù)，反之不一定成立.本節(jié)小結(jié)

1.導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式：limf(x0??x)?f(x0)?y?lim

?x?0?x?x?0?x2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(c)?0(x)?nx(logax)?nn?1(sinx)?cosx(cosx)??sinx

11logae(lnx)?(ax)?axlna(ex)?ex xx3.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)連續(xù)，反之不一定成立。4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，在幾何表示為曲線在此點(diǎn)的切線的斜率。

導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)及反思 導(dǎo)數(shù)幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)篇二

【教學(xué)課題】：§2.1 導(dǎo)數(shù)的概念（第一課時(shí)）

【教學(xué)目的】：能使學(xué)生深刻理解在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達(dá)其定義；明確其實(shí)際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；明確一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】：在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾種等價(jià)定義及其應(yīng)用。【教學(xué)方法】：系統(tǒng)講授，問題教學(xué)，多媒體的利用等。【教學(xué)過程】：

一）導(dǎo)數(shù)的思想的歷史回顧

導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類的實(shí)踐。導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（fermat）為研究極值問題而引入的，但導(dǎo)數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國數(shù)學(xué)家牛頓（newton）和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（leibniz）在研究力學(xué)與幾何學(xué)的過程中建立起來的。

二）兩個(gè)來自物理學(xué)與幾何學(xué)的問題的解決

問題1（以變速直線運(yùn)動的瞬時(shí)速度的問題的解決為背景）已知：自由落體運(yùn)動方程為：s(t)?12gt，t?[0,t]，求：落體在t0時(shí)刻（t0?[0,t]）的瞬時(shí)速度。2t0t

問題解決：設(shè)t為t0的鄰近時(shí)刻，則落體在時(shí)間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

v?若t?t0時(shí)平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度。

問題2（以曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率的問題的解決為背景）已知：曲線y?f(x)上點(diǎn)m(x0,y0)，求：m點(diǎn)處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設(shè)曲線c及曲線c上的一點(diǎn)m，如圖，在m外c上另外取一點(diǎn)n，作割線mn，當(dāng)n沿著c趨近點(diǎn)m時(shí)，如果割線mn繞點(diǎn)m旋轉(zhuǎn)而趨于極

1 限位置mt，直線mt就稱為曲線c在點(diǎn)m處的切線。

問題解決：取在c上m附近一點(diǎn)n(x,y)，于是割線pq的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線mn的傾角）?x?x0x?x0當(dāng)x?x0時(shí)，若上式極限存在，則極限

k?tan??f(x)?fx(0)（?為割線mt的傾角）limx?x0x?x0為點(diǎn)m處的切線的斜率。

上述兩問題中，第一個(gè)是物理學(xué)的問題，后一個(gè)是幾何學(xué)問題，分屬不同的學(xué)科，但問 題的解決都?xì)w結(jié)到求形如

limx?x0f(x)?f(x0）

（1）

x?x0的極限問題。事實(shí)上，在學(xué)習(xí)物理學(xué)時(shí)會發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算諸如物質(zhì)比熱、電流強(qiáng)度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問題。也正是這類問題的研究，促使“導(dǎo)數(shù)”的概念的誕生。

三）導(dǎo)數(shù)的定義

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，若極限

x?x0limf(x)?f(x0）

x?x0存在，則稱函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱該極限為f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)。即

f(x0)?limx?x0f(x)?f(x0）

（2）

x?x0也可記作y?x?x，odydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

dxx?xof在x0處可導(dǎo)的等價(jià)定義：

設(shè)x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價(jià)于?x?0，如果 函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，可等價(jià)表達(dá)成為以下幾種形式：

2 f(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

（3）

?f(x0)?lim?x?0?xx?x0?f(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x?f(x0)?lim四）

f(x0?)?f(x0）?0

（5）

利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)例子

例1 求f(x)?x2在點(diǎn)x?1處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程。解 由定義

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x于是曲線在(1,1)處的切線斜率為2，所以切線方程為y?1?2(x?1)，即y?2x?1。

例2 設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

(x)

?f(?x)?f(??x)證

?f(x)?f? 又f(0)?lim

?lim?x?0?x?0f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x?f?(0)?0

注意：f(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應(yīng)用。此題的?0為??x。

1?xsin,x?0?x例3 討論函數(shù)f(x)?? 在x?0處的連續(xù)性，可導(dǎo)性。?0,x?0?解

首先討論f(x)在x?0處的連續(xù)性：limf(x)?limxsinx?0x?01?0?f(0)x即f(x)在x?0處連續(xù)。

再討論f(x)在x?0處的可導(dǎo)性：

3 ?x?0limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x

?xsin1?01?x

此極限不存在 ?limsin?x?0?x?x即f(x)在x?0處不可導(dǎo)。

問

怎樣將此題的f(x)在x?0的表達(dá)式稍作修改，變?yōu)閒(x)在x?0處可導(dǎo)？

1?n?1xsinx,?0?x答 f(x)?? n?1,2,3?，即可。

?0,x?0?四）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

由上題可知；在一點(diǎn)處連續(xù)不一定可導(dǎo)。反之，若設(shè)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，則

?y?f(x0)

?x?0?xlim由極限與無窮小的關(guān)系得：

?y?f(x0)?x?o(?x)，所以當(dāng)?x?0，有?y?0。即f在點(diǎn)x0連續(xù)。

故在一點(diǎn)處連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系是：連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù)。

五）單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

例4 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。證明 ?lim?x?0f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，x?0?xx?0?x?0?xx?0x?0?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

在函數(shù)分段點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)等處，不得不考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù)：

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?0?x?x存在，則稱該極限為f在點(diǎn)x0的右導(dǎo)數(shù)，記作f?(x0)。

?左導(dǎo)數(shù)

f?(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：若函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，則f(x0)存在?f?(x0)，f?(x0)都存在，且f?(x0)=f?(x0)。

4 例5 設(shè)f(x)??解 由于 ?1?cosx, x?0，討論f(x)在x?0處的可導(dǎo)性。

x?0?x , f?(0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)1?cos?x?lim??0 ?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?x?lim??1 ?x?0?x?xf?(0)?lim??x?0從而f?(0)?f?(0)，故f(x)在x?0處不可導(dǎo)。

六）小結(jié): 本課時(shí)的主要內(nèi)容要求：

① 深刻理解在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達(dá)其定義；

② 注意f(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應(yīng)用。

?0③ 明確其實(shí)際背景并給出物理、幾何解釋； ④ 能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；

⑤ 明確導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)及反思 導(dǎo)數(shù)幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)篇三

《導(dǎo)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識與技能目標(biāo)：掌握導(dǎo)數(shù)的概念，并能夠利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算導(dǎo)數(shù).（2）過程與方法目標(biāo)：通過引入導(dǎo)數(shù)的概念這一過程，讓學(xué)生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領(lǐng)悟極限思想；提高類比歸納、抽象概括的思維能力．

（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

通過合作與交流，讓學(xué)生感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的熱愛，養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度．

2.教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義和利用定義如何計(jì)算導(dǎo)數(shù)． 難點(diǎn)：對導(dǎo)數(shù)概念的理解．

3.教學(xué)方法

1.教法：引導(dǎo)式教學(xué)法

在提出問題的背景下，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究、合作交流的空間，指導(dǎo)學(xué)生類比探究形成導(dǎo)數(shù)概念的形成．

2.教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)

4.教學(xué)過程

（一）情境引入

導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類的實(shí)踐。導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（fermat）為研究極值問題而引入的，但導(dǎo)數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國數(shù)學(xué)家牛頓（newton）和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（leibniz）在研究力學(xué)與幾何學(xué)的過程中建立起來的。

17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類問題：

一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀(jì)是一個(gè)十分盛行的研究課題，早在公元1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家海倫（heron）就已經(jīng)證明了光的反射定律：光射向平面時(shí)，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時(shí)，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么，對于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。

cbcbaa

圖 1 光在平面上的反射 圖 2 光在球面上的反射

二是曲線運(yùn)動的速度問題。對于直線運(yùn)動，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運(yùn)動的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。

三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個(gè)古老的難題。自古希臘以來，人們對圓弧和直線構(gòu)成的角——牛頭角（圖3中ab弧與ac構(gòu)成的角）和弓形角（圖4中ab與acb弧所構(gòu)成的角）即有過很多爭議。17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線

所構(gòu)成的角呢？這就需要確定曲線在交點(diǎn)處的切線。(二)探索新知

問題1 已知：勻加速直線運(yùn)動方程為：s(t)?v0t?刻（t0?[0,t]）的瞬時(shí)速度。

問題解決：設(shè)t為t0的鄰近時(shí)刻，則落體在時(shí)間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

12at，t?[0,t]，求：物體在t0時(shí)2v?若t?t0時(shí)平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度。

問題2已知：曲線y?f(x)上點(diǎn)m(x0,y0)，求：m點(diǎn)處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設(shè)曲線c及曲線c上的一點(diǎn)m，如圖，在m外c上另外取一點(diǎn)n，作割線mn，當(dāng)n沿著c趨近點(diǎn)m時(shí)，如果割線mn繞點(diǎn)m旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置mt，直線mt就稱為曲線c在點(diǎn)m處的切線。

問題解決：取在c上m附近一點(diǎn)n(x,y)，于是割線pq的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線mn的傾角）?x?x0x?x0當(dāng)x?x0時(shí)，若上式極限存在，則極限

k?tan??為點(diǎn)m處的切線的斜率。

導(dǎo)數(shù)的定義

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，若極限limx?x0f(x)?fx(0)（?為割線mt的傾角）limx?x0x?x0f(x)?f(x0）存在，則稱函數(shù)

x?x0

f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱該極限為f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)。

即 f(x0)?（2）

也可記作y?x?x，of(x)?fx(0）

limx?x0x?x0dydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

dxx?xof在x0處可導(dǎo)的等價(jià)定義：

設(shè)x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價(jià)于?x?0，如果 函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，可等價(jià)表達(dá)成為以下幾種形式：

f(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

?f(x0)?lim?x?0?xx?x0?f(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

?x單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

在函數(shù)分段點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)等處，不得不考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù)：

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?x?0?x存在，則稱該極限為f在點(diǎn)x0的右導(dǎo)數(shù)，記作f?(x0)。

?左導(dǎo)數(shù)

f?(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：若函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，則f(x0)存在?f?(x0)，f?(x0)都存在，且f?(x0)=f?(x0)。

（三）知識鞏固

2例題1 求f(x)?x在點(diǎn)x?1處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程。

解：由定義可得：

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x附注：在解決切線問題時(shí)，要熟悉導(dǎo)數(shù)的定義，并能通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義來解決一般問題

例題2設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

證

f(x)?f(?x)?f(?x)?f(??x)

f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x 又f(0)?lim ?x?0 ?lim?x?0?f?(0)?0

附注：需要注意公式f(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的靈活運(yùn)用，它可以變化成其他的形式。

x?x0例3 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

證明

x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，???x?0x?0x?0x?0xx?0x?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

附注：判斷一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處是否可導(dǎo)，只需要考慮該點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)是否相等即可。

（四）應(yīng)用提高 求曲線y?x在點(diǎn)（－1，－1）處的切線方程為(a)x?2a.y=2x＋1 b.y=2x－1 c.y=－2x－3 d.y=－2x－2

（五）小結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的基本概念，在經(jīng)歷探究導(dǎo)數(shù)概念的過程中，讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)的形成，并對導(dǎo)數(shù)的幾何意義有較深刻的認(rèn)識。

本節(jié)課中所用數(shù)學(xué)思想方法：逼近、類比、特殊到一般。

（六）作業(yè)布置

1．已知f(1)?2012，計(jì)算：

f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)(2)lim

?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim

?x?0?x?04?x?x(1)lim2.計(jì)算函數(shù)f(x)??2x?3在點(diǎn)（1，1）處切線的方程。2

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