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高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)梳理篇一
注意：
函數(shù)定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的函數(shù)稱為函數(shù)的定義域。
求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零；
(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；
(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的。那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的函數(shù)。
(6)指數(shù)為零底不可以等于零，
(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義。
?相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān));②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
2.高中數(shù)學(xué)函數(shù)值域：先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納
(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈a)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)p(x，y)的函數(shù)c，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈a)的圖象。c上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過(guò)來(lái)，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在c上。
(2)畫法
a、描點(diǎn)法：
b、圖象變換法
常用變換方法有三種
(1)平移變換
(2)伸縮變換
(3)對(duì)稱變換
4.高中數(shù)學(xué)函數(shù)區(qū)間的概念
(1)函數(shù)區(qū)間的分類：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間
(2)無(wú)窮區(qū)間
5.映射
一般地，設(shè)a、b是兩個(gè)非空的函數(shù)，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于函數(shù)a中的任意一個(gè)元素x，在函數(shù)b中都有確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：ab為從函數(shù)a到函數(shù)b的一個(gè)映射。記作“f(對(duì)應(yīng)關(guān)系)：a(原象)b(象)”
對(duì)于映射f：a→b來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿足：
(1)函數(shù)a中的每一個(gè)元素，在函數(shù)b中都有象，并且象是的；
(2)函數(shù)a中不同的元素，在函數(shù)b中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；
(3)不要求函數(shù)b中的每一個(gè)元素在函數(shù)a中都有原象。
6.高中數(shù)學(xué)函數(shù)之分段函數(shù)
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。
(2)各部分的自變量的取值情況。
(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。
補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u)(u∈m),u=g(x)(x∈a),則y=f[g(x)]=f(x)(x∈a)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)梳理篇二
一、指數(shù)函數(shù)
(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算
1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈.
當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)。此時(shí)，的次方根用符號(hào)表示。式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(shù)(radicalexponent)，叫做被開(kāi)方數(shù)(radicand).
當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。此時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，負(fù)的次方根用符號(hào)-表示。正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±(>0).由此可得：負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。
注意：當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，
2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：
0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義
指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪。
3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)閞.
注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.
2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)梳理篇三
(1)高中函數(shù)公式的變量：因變量，自變量。
在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。
(2)一次函數(shù)：
①若兩個(gè)變量，間的關(guān)系式可以表示成(為常數(shù)，不等于0)的形式，則稱是的一次函數(shù)。
②當(dāng)=0時(shí)，稱是的正比例函數(shù)。
(3)高中函數(shù)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
①把一個(gè)函數(shù)的自變量與對(duì)應(yīng)的因變量的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。
②正比例函數(shù)=的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線。
③在一次函數(shù)中，當(dāng)0，o，則經(jīng)2、3、4象限；當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、4象限；當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、3、4象限；當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、3象限。
④當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而增大，當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而減少。
(4)高中函數(shù)的二次函數(shù)：
①一般式：對(duì)稱軸是頂點(diǎn)是；
②頂點(diǎn)式：對(duì)稱軸是頂點(diǎn)是；
③交點(diǎn)式：其中，是拋物線與x軸的交點(diǎn)
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)梳理篇四
設(shè)x和y是兩個(gè)變量，d是實(shí)數(shù)集r的某個(gè)子集。如果對(duì)任何的x∈d，按照某種對(duì)應(yīng)法則，變量y總有確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量y是定義在d上變量x的函數(shù)，記作y=f(x)。稱d為該函數(shù)的定義域，稱x為自變，y為因變量。
當(dāng)自變量x取數(shù)值xo∈d時(shí)，與xo對(duì)應(yīng)的因變量y的值稱為函數(shù)y=f(x)，當(dāng)x取遍d的所有數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的變量y取值的全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)y二f(x)的值域。
如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的`函數(shù)值只有一個(gè)，這種函數(shù)稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù)。
例如，y=3x+l是單值函數(shù)，而由方程x2+y2=1確定的函數(shù)y=士√1-x2就是多值函數(shù)。以后凡沒(méi)有特別說(shuō)明，本書所討論的函數(shù)都是指單值函數(shù)。
函數(shù)的表示法通常有三種，即表格法、圖示法和公式法。
由函數(shù)的定義知，確定函數(shù)的兩個(gè)基本要素是定義域和對(duì)應(yīng)法則。也就是說(shuō)，兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才是相同的。
(1)有界性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閐，數(shù)集x∈d，如果存在正數(shù)m，使得對(duì)于任意的x∈x，都有不等式
∣f(x)∣≤m
成立，則稱了(x)在x上有界，如果這樣的m不存在，則稱函數(shù)在x上無(wú)界。
(2)單調(diào)性。設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)向x上有定義。如果對(duì)于任意的x1,x2∈x，當(dāng)x1<x2時(shí)，均有f(x1)
(3)奇偶性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域d是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，如果對(duì)于任意的x∈d，均有f(x)=f(一x)，則稱。f(x)為偶函數(shù)；如果對(duì)于任意的x∈d，均有f(x)=-f(x)，則稱了(x)為奇函數(shù)。
(4)周期性設(shè)函數(shù)y=f(x)，如果存在不為零的常數(shù)t,使得對(duì)于任意x∈d均有x+t∈d，且f(x)=f(x+t)成立，則稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱t為f(x)的一個(gè)周期。
顯然，若t是周期函數(shù)f(x)的周期，則kt也是f(x)的周期((k=士1，士2，士3,……)。
通常我們說(shuō)的周期是指最小正周期。
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)梳理篇五
冪函數(shù)定義：
形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域：
當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域
冪函數(shù)性質(zhì)：
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是r，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x>0，則a可以是任意實(shí)數(shù)；
排除了為0這種可能，即對(duì)于x
排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。
總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；
如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。
在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。
在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況。
可以看到：
(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。
(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。
(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹；當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。
(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)a大于0，函數(shù)過(guò)(0，0);a小于0，函數(shù)不過(guò)(0，0)點(diǎn)。
(6)顯然冪函數(shù)無(wú)界。
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