范文為教學中作為模范的文章，也常常用來指寫作的模板。常常用于文秘寫作的參考，也可以作為演講材料編寫前的參考。寫范文的時候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？這里我整理了一些優(yōu)秀的范文，希望對大家有所幫助，下面我們就來了解一下吧。
正切和余切的關系轉(zhuǎn)換篇一
一、目標
1.使學生了解正切、余切的概念，能夠正確地用 、 表示直角三角形（其中一個銳角為 ）中兩邊的比，了解 與 成倒數(shù)關系，熟記30°、45°、60°角的各個三角函數(shù)值，會計算含有這三個特殊銳角的三角函數(shù)值的式子，會由一個特殊銳角的三角函數(shù)值說出這個角的度數(shù)，了解一個銳角的正切（余切）值與它的余角的余切（正切）值之間的關系。
2.逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。
3.培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神。
二、學法引導
1.方法：運用類比法指導學生探索研究新知。
2.學生學法：運用類比法主動探索研究新知。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點：了解正切、余切的概念，熟記特殊角的正切值和余切值。
2.難點：了解的概念。
3.疑點：正切與余切概念的混淆.
4.解決辦法：通過類比引出概念和性質(zhì)，再通過大量直接應用，鞏固概念和性質(zhì)。
四、教具準備
投影機、投影片（自制）、三角板
五、步驟
（一）明確目標
1.什么是銳角 的正弦、余弦？（結(jié)合下圖回答）。
2.填表
3.互為余角的正弦值、余弦值有何關系？
4.當角度在0°～90°變化時，銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)律？
5.我們已經(jīng)掌握一個銳角的正弦（余弦）是指直角三角形中該銳角的對邊（鄰邊）與斜邊的比值，那么直角三角形中，兩直角邊的比值與銳角的關系如何呢？在銳角三角函數(shù)中，除正、余弦外，還有其他一些三角函數(shù)，本節(jié)課我們學習。
（二）整體感知
正切、余切的概念，也是本間的重點和關鍵，是全章知識的基礎，對學生今后的學習或工作都十分重要，教材在繼第一節(jié)正弦和余弦后，又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切，像這樣，把概論、計算和應用分成兩塊，每塊自與一個整體小循環(huán)，第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的內(nèi)容，可以有效地克服難點，同時也使學生通過對比，便于掌握銳角三角函數(shù)的有關知識。
（三）過程
1.引入正切、余切概念
①本節(jié)課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關系，因此同學們首先應思考：當銳角固定時，兩直角邊的比值是否也固定？
因為學生在研究過正弦、余弦概念之后，已經(jīng)接觸過這類問題，所以大部分學生能口述證明，并進一步猜測“兩直角邊的比值一定是”。
②給出正切、余切概念。
如圖，在 中，把 的對邊與鄰邊的比叫做 的正切，記作 。
即???
并把 的鄰邊與對邊的比叫做 的余切，記作 ，
即????
2. 與 的關系
請學生觀察 與 的表達式，得結(jié)論 （或 ， ）這個關系式既重要又易于掌握，必須讓學生深刻理解，并與 區(qū)別開.
3.銳角三角函數(shù)
由上圖， ， ， ， ，把銳角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的銳角三角函數(shù)。
銳角三角函數(shù)概念的給出，使學生茅塞頓開，初步理解本節(jié)題目。
問：銳角三角函數(shù)能否為負數(shù)？
學生回答這個問題很容易。
4.特殊角的三角函數(shù)。
①出示幻燈片
請同學推算30°、45°、60°角的正切、余切值。（如下圖）
；
；
；
；
；
.
通過學生計算完成表格的過程，不僅復習鞏固了正切、余切概念，而且使學生熟記特殊角的正切值與余切值，同時滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。
0°，90°正切值與余切值可引導學生查“表”，學生完全能獨立查出。
5.根據(jù)互為余角的正弦值與余弦值的關系，結(jié)合圖形，引導學生發(fā)現(xiàn)互為余角的正切值與余切值的關系。
結(jié)論：任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。
即?? ， .
練習：1）請學生回答 與 的值各是多少？ 與 ？ 與 呢？學生口答之后，還可以為程度較高的學生設置問題： 與 有何關系？為什么？ 與 呢？
2）把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。
6.例題
【例1】求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
解：（1）
；
（2）
＝2.
練習1.求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
2.填空：
（1）
（2）若 ，則銳角
（3）若 ，則銳角
學生的計算能力可能不很強，尤其是分式，二次根式的運算，因此這里應查缺補漏，以培養(yǎng)學生運算能力。
（四）總結(jié)擴展
請學生小結(jié)：本節(jié)課了解了正切、余切的概念及 與 關系.知道特殊角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關系.本課用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.
結(jié)合 及 ，可擴展為 .
六、布置作業(yè)?
1.看教材p12～p14，培養(yǎng)學生看書習慣。
2.教材p16中習題6.2a組2、3、4、5、6.
七、設計
第二課時
一、目標
1.鞏固正、余切概念，學會用正、余切來解決問題.
2.通過例題，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力； 通過歸納、概括，培養(yǎng)學生邏輯思維能力。
3.培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神及良好的學習習慣。
二、學法引導
1.方法：指導探索研究法。
2.學生學法：主動探索研究法。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點：用正、余切解直角三角形。
2.難點：靈活運用正切、余切。
3.疑點：學生可能對正切、余切概念掌握不牢，導致出現(xiàn) 之類的錯誤，中應引起重視，使學生熟能生巧。
4.解決辦法：通過精心引導，學生積極思維，主動研究發(fā)現(xiàn)，及練習鞏固解決重難點及疑點。
四、教具準備
投影機（或電腦）、自制投影片（或課件）、三角板
五、步驟
（一）明確目標
結(jié)合圖，說出什么是 的正切、余切？
請班級里較差學生回答，以檢測其掌握情況.
2. 與 具有什么關系？
答： （或 或 ）.
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系？
答： ，
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系？
答： ，
4.在0°～90°間，正切、余切值隨角度變化而變化的規(guī)律是什么？
通過以上四個問題，使學生對新學的知識有了系統(tǒng)的認識，便于應用.
對概念的鞏固最好的途徑是配備練習題.因此，在引導學生復習有關概念后，應出示練習題（投影片）.
1.在 中， 為直角， 、 、 所對的邊分別為 。
①若 ， ，則 ， ， ，
②若 ，則
2.比較大?。?/p>
① ?????? ②
③ ?????? ④
3.計算題：
① ；
② .
（二）整體感知
本課安排在本小節(jié)末，運用本小節(jié)的知識去解決一個簡單問題，再次為本章第二節(jié)解直角三角形做好準備.當然，這個問題只用上一小節(jié)學過的正弦、余弦也可以解決，不過那樣做，就要先求出斜邊 ，解的過程要繁瑣一些。
（三）過程
1.講授新課
【例】在 中， 為直角， 所對的邊分別是 ，已知 ， ，求 （保留兩位有效數(shù)字）.
這個題是本大節(jié)知識的綜合運用，考查知識點面面俱到，是檢查全體學生是否全面達到目標要求有效途徑，中應引導學生全體參與，積極地探求各種解法，然后加以比較，優(yōu)選出最佳方法，以培養(yǎng)學生思維的敏捷性、深刻性，形成良好的思維品質(zhì)。
分析：本題已知 和 ，求 ，觀察圖不難發(fā)現(xiàn)，邊 恰好是 的對邊與鄰邦邊，因此求 可選用以下兩個關系式：（1） ，（2） .
請學生比較一下，哪一個關系計算更簡便呢？答：若選用 ，由此得 ，用 除以含四位有效數(shù)字的數(shù)，計算比較麻煩；而選用 ，由此得 .用 乘以含四位有效數(shù)字的數(shù)，計算相對方便.
解： ，
∴
解完例題之后，應引導學生小結(jié)：本題顯示了“除法與乘法在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化”，其中“條件”是 與 互為倒數(shù).認真分析和利用這種轉(zhuǎn)化，有時可使計算簡便.
2.鞏固練習
本節(jié)課實際上是對前面課的綜合，通過對前面知識的綜合運用，以培養(yǎng)學生的比較、分析、概括等邏輯思維能力.因此例題后應安排練習題如下：
在 中， 為直角， 、 、 所對的邊分別為 .
（1）已知 ， ，求 和 .
（2）已知 ， ，求 和 .
（3）已知 ， ，求 .
（4）已知 ， ，求 .
（5）已知 ， ，求 .
（6）已知 ， ，求 和 （保留兩位有效數(shù)字）.
教法說明：給學生足夠的時間，引導學生討論、研究，篩選出最佳關系式使計算簡便，既培養(yǎng)學生計算能力，鞏固所學知識，又能培養(yǎng)學生的思維能力.
[參考答案]（1） ， ；（2） ， ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ， .
3.對學有余力的學生，可引導其讀教材p15想一想.使學生對正弦、余弦間的關系，正切、余切間的關系以及弦、切間的關系有所了解，保證知識的完整性，為高中三角函數(shù)的學習打下基礎.
.
（四）總結(jié)、擴展
引導學生總結(jié)：1.要認真分析直角三角形中的各邊與角的三角函數(shù)關系.2.因為同一個角的可以互相轉(zhuǎn)化，所以在選用關系時晝選擇乘法使計算較簡便.
六、布置作業(yè)?
1.看教材p1～p17，培養(yǎng)學生看書習慣。
2.教材p17習題a組7、8，學有余力的學生可選做b組題。
七、設計
正切和余切的關系轉(zhuǎn)換篇二
第一課時
一、
1.使學生了解正切、余切的概念，能夠正確地用 、 表示直角三角形（其中一個銳角為 ）中兩邊的比，了解 與 成倒數(shù)關系，熟記30°、45°、60°角的各個三角函數(shù)值，會計算含有這三個特殊銳角的三角函數(shù)值的式子，會由一個特殊銳角的三角函數(shù)值說出這個角的度數(shù)，了解一個銳角的正切（余切）值與它的余角的余切（正切）值之間的關系。
2.逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。
3.培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神。
二、學法引導
1.教學方法：運用類比法指導學生探索研究新知。
2.學生學法：運用類比法主動探索研究新知。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點：了解正切、余切的概念，熟記特殊角的正切值和余切值。
2.難點：了解的概念。
3.疑點：正切與余切概念的混淆.
4.解決辦法：通過類比引出概念和性質(zhì)，再通過大量直接應用，鞏固概念和性質(zhì)。
四、教具準備
投影機、投影片（自制）、三角板
五、教學步驟?
（一）明確目標
1.什么是銳角 的正弦、余弦？（結(jié)合下圖回答）。
2.填表
3.互為余角的正弦值、余弦值有何關系？
4.當角度在0°～90°變化時，銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)律？
5.我們已經(jīng)掌握一個銳角的正弦（余弦）是指直角三角形中該銳角的對邊（鄰邊）與斜邊的比值，那么直角三角形中，兩直角邊的比值與銳角的關系如何呢？在銳角三角函數(shù)中，除正、余弦外，還有其他一些三角函數(shù)，本節(jié)課我們。
（二）整體感知
正切、余切的概念，也是本間的重點和關鍵，是全章知識的基礎，對學生今后的或工作都十分重要，教材在繼第一節(jié)正弦和余弦后，又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切，像這樣，把概論、計算和應用分成兩塊，每塊自與一個整體小循環(huán)，第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的內(nèi)容，可以有效地克服難點，同時也使學生通過對比，便于掌握銳角三角函數(shù)的有關知識。
（三）
1.引入正切、余切概念
①本節(jié)課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關系，因此同學們首先應思考：當銳角固定時，兩直角邊的比值是否也固定？
因為學生在研究過正弦、余弦概念之后，已經(jīng)接觸過這類問題，所以大部分學生能口述證明，并進一步猜測“兩直角邊的比值一定是”。
②給出正切、余切概念。
如圖，在 中，把 的對邊與鄰邊的比叫做 的正切，記作 。
即???
并把 的鄰邊與對邊的比叫做 的余切，記作 ，
即????
2. 與 的關系
請學生觀察 與 的表達式，得結(jié)論 （或 ， ）這個關系式既重要又易于掌握，必須讓學生深刻理解，并與 區(qū)別開.
3.銳角三角函數(shù)
由上圖， ， ， ， ，把銳角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的銳角三角函數(shù)。
銳角三角函數(shù)概念的給出，使學生茅塞頓開，初步理解本節(jié)題目。
問：銳角三角函數(shù)能否為負數(shù)？
學生回答這個問題很容易。
4.特殊角的三角函數(shù)。
①教師出示幻燈片
請同學推算30°、45°、60°角的正切、余切值。（如下圖）
；
；
；
；
；
.
通過學生計算完成表格的過程，不僅復習鞏固了正切、余切概念，而且使學生熟記特殊角的正切值與余切值，同時滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。
0°，90°正切值與余切值可引導學生查“表”，學生完全能獨立查出。
5.根據(jù)互為余角的正弦值與余弦值的關系，結(jié)合圖形，引導學生發(fā)現(xiàn)互為余角的正切值與余切值的關系。
結(jié)論：任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。
即?? ， .
練習：1）請學生回答 與 的值各是多少？ 與 ？ 與 呢？學生口答之后，還可以為程度較高的學生設置問題： 與 有何關系？為什么？ 與 呢？
2）把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。
6.例題
【例1】求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
解：（1）
；
（2）
＝2.
練習1.求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
2.填空：
（1）
（2）若 ，則銳角
（3）若 ，則銳角
學生的計算能力可能不很強，尤其是分式，二次根式的運算，因此這里應查缺補漏，以培養(yǎng)學生運算能力。
（四）總結(jié)擴展
請學生小結(jié)：本節(jié)課了解了正切、余切的概念及 與 關系.知道特殊角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關系.本課用到了數(shù)形結(jié)合的思想.
結(jié)合 及 ，可擴展為 .
六、布置作業(yè)?
1.看教材p12～p14，培養(yǎng)學生看書習慣。
2.教材p16中習題6.2a組2、3、4、5、6.
七、
第二課時
一、
1.鞏固正、余切概念，學會用正、余切來解決問題.
2.通過例題教學，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力； 通過歸納、概括，培養(yǎng)學生邏輯思維能力。
3.培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神及良好的習慣。
二、學法引導
1.教學方法：指導探索研究法。
2.學生學法：主動探索研究法。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點：用正、余切解直角三角形。
2.難點：靈活運用正切、余切。
3.疑點：學生可能對正切、余切概念掌握不牢，導致出現(xiàn) 之類的錯誤，教學中應引起重視，使學生熟能生巧。
4.解決辦法：通過教師精心引導，學生積極思維，主動研究發(fā)現(xiàn)，及練習鞏固解決重難點及疑點。
四、教具準備
投影機（或電腦）、自制投影片（或課件）、三角板
五、教學步驟?
（一）明確目標
結(jié)合圖，說出什么是 的正切、余切？
請班級里較差學生回答，以檢測其掌握情況.
2. 與 具有什么關系？
答： （或 或 ）.
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系？
答： ，
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系？
答： ，
4.在0°～90°間，正切、余切值隨角度變化而變化的規(guī)律是什么？
通過以上四個問題，使學生對新學的知識有了系統(tǒng)的認識，便于應用.
對概念的鞏固最好的途徑是配備練習題.因此，教師在引導學生復習有關概念后，應出示練習題（投影片）.
1.在 中， 為直角， 、 、 所對的邊分別為 。
①若 ， ，則 ， ， ，
②若 ，則
2.比較大?。?/p>
① ?????? ②
③ ?????? ④
3.計算題：
① ；
② .
（二）整體感知
本課安排在本小節(jié)末，運用本小節(jié)的知識去解決一個簡單問題，再次為本章第二節(jié)解直角三角形做好準備.當然，這個問題只用上一小節(jié)學過的正弦、余弦也可以解決，不過那樣做，就要先求出斜邊 ，解的過程要繁瑣一些。
（三）
1.講授新課
【例】在 中， 為直角， 所對的邊分別是 ，已知 ， ，求 （保留兩位有效數(shù)字）.
這個題是本大節(jié)知識的綜合運用，考查知識點面面俱到，是檢查全體學生是否全面達到要求有效途徑，教學中應引導學生全體參與，積極地探求各種解法，然后加以比較，優(yōu)選出最佳方法，以培養(yǎng)學生思維的敏捷性、深刻性，形成良好的思維品質(zhì)。
分析：本題已知 和 ，求 ，觀察圖不難發(fā)現(xiàn)，邊 恰好是 的對邊與鄰邦邊，因此求 可選用以下兩個關系式：（1） ，（2） .
請學生比較一下，哪一個關系計算更簡便呢？答：若選用 ，由此得 ，用 除以含四位有效數(shù)字的數(shù)，計算比較麻煩；而選用 ，由此得 .用 乘以含四位有效數(shù)字的數(shù)，計算相對方便.
解： ，
∴
解完例題之后，應引導學生小結(jié)：本題顯示了“除法與乘法在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化”，其中“條件”是 與 互為倒數(shù).認真分析和利用這種轉(zhuǎn)化，有時可使計算簡便.
2.鞏固練習
本節(jié)課實際上是對前面課的綜合，通過對前面知識的綜合運用，以培養(yǎng)學生的比較、分析、概括等邏輯思維能力.因此例題后應安排練習題如下：
在 中， 為直角， 、 、 所對的邊分別為 .
（1）已知 ， ，求 和 .
（2）已知 ， ，求 和 .
（3）已知 ， ，求 .
（4）已知 ， ，求 .
（5）已知 ， ，求 .
（6）已知 ， ，求 和 （保留兩位有效數(shù)字）.
教法說明：給學生足夠的時間，引導學生討論、研究，篩選出最佳關系式使計算簡便，既培養(yǎng)學生計算能力，鞏固所學知識，又能培養(yǎng)學生的思維能力.
[參考答案]（1） ， ；（2） ， ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ， .
3.對學有余力的學生，可引導其讀教材p15想一想.使學生對正弦、余弦間的關系，正切、余切間的關系以及弦、切間的關系有所了解，保證知識的完整性，為高中三角函數(shù)的打下基礎.教師板書
.
（四）總結(jié)、擴展
引導學生總結(jié)：1.要認真分析直角三角形中的各邊與角的三角函數(shù)關系.2.因為同一個角的可以互相轉(zhuǎn)化，所以在選用關系時晝選擇乘法使計算較簡便.
六、布置作業(yè)?
1.看教材p1～p17，培養(yǎng)學生看書習慣。
2.教材p17習題a組7、8，學有余力的學生可選做b組題。
七、
正切和余切的關系轉(zhuǎn)換篇三
第一課時
一、
1.使學生了解正切、余切的概念，能夠正確地用 、 表示直角三角形（其中一個銳角為 ）中兩邊的比，了解 與 成倒數(shù)關系，熟記30°、45°、60°角的各個三角函數(shù)值，會計算含有這三個特殊銳角的三角函數(shù)值的式子，會由一個特殊銳角的三角函數(shù)值說出這個角的度數(shù)，了解一個銳角的正切（余切）值與它的余角的余切（正切）值之間的關系。
2.逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。
3.培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神。
二、學法引導
1.教學方法：運用類比法指導學生探索研究新知。
2.學生學法：運用類比法主動探索研究新知。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點：了解正切、余切的概念，熟記特殊角的正切值和余切值。
2.難點：了解的概念。
3.疑點：正切與余切概念的混淆.
4.解決辦法：通過類比引出概念和性質(zhì)，再通過大量直接應用，鞏固概念和性質(zhì)。
四、教具準備
投影機、投影片（自制）、三角板
五、教學步驟?
（一）明確目標
1.什么是銳角 的正弦、余弦？（結(jié)合下圖回答）。
2.填表
3.互為余角的正弦值、余弦值有何關系？
4.當角度在0°～90°變化時，銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)律？
5.我們已經(jīng)掌握一個銳角的正弦（余弦）是指直角三角形中該銳角的對邊（鄰邊）與斜邊的比值，那么直角三角形中，兩直角邊的比值與銳角的關系如何呢？在銳角三角函數(shù)中，除正、余弦外，還有其他一些三角函數(shù)，本節(jié)課我們。
（二）整體感知
正切、余切的概念，也是本間的重點和關鍵，是全章知識的基礎，對學生今后的或工作都十分重要，教材在繼第一節(jié)正弦和余弦后，又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切，像這樣，把概論、計算和應用分成兩塊，每塊自與一個整體小循環(huán)，第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的內(nèi)容，可以有效地克服難點，同時也使學生通過對比，便于掌握銳角三角函數(shù)的有關知識。
（三）
1.引入正切、余切概念
①本節(jié)課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關系，因此同學們首先應思考：當銳角固定時，兩直角邊的比值是否也固定？
因為學生在研究過正弦、余弦概念之后，已經(jīng)接觸過這類問題，所以大部分學生能口述證明，并進一步猜測“兩直角邊的比值一定是”。
②給出正切、余切概念。
如圖，在 中，把 的對邊與鄰邊的比叫做 的正切，記作 。
即???
并把 的鄰邊與對邊的比叫做 的余切，記作 ，
即????
2. 與 的關系
請學生觀察 與 的表達式，得結(jié)論 （或 ， ）這個關系式既重要又易于掌握，必須讓學生深刻理解，并與 區(qū)別開.
3.銳角三角函數(shù)
由上圖， ， ， ， ，把銳角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的銳角三角函數(shù)。
銳角三角函數(shù)概念的給出，使學生茅塞頓開，初步理解本節(jié)題目。
問：銳角三角函數(shù)能否為負數(shù)？
學生回答這個問題很容易。
4.特殊角的三角函數(shù)。
①教師出示幻燈片
請同學推算30°、45°、60°角的正切、余切值。（如下圖）
；
；
；
；
；
.
通過學生計算完成表格的過程，不僅復習鞏固了正切、余切概念，而且使學生熟記特殊角的正切值與余切值，同時滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。
0°，90°正切值與余切值可引導學生查“表”，學生完全能獨立查出。
5.根據(jù)互為余角的正弦值與余弦值的關系，結(jié)合圖形，引導學生發(fā)現(xiàn)互為余角的正切值與余切值的關系。
結(jié)論：任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。
即?? ， .
練習：1）請學生回答 與 的值各是多少？ 與 ？ 與 呢？學生口答之后，還可以為程度較高的學生設置問題： 與 有何關系？為什么？ 與 呢？
2）把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。
6.例題
【例1】求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
解：（1）
；
（2）
＝2.
練習1.求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
2.填空：
（1）
（2）若 ，則銳角
（3）若 ，則銳角
學生的計算能力可能不很強，尤其是分式，二次根式的運算，因此這里應查缺補漏，以培養(yǎng)學生運算能力。
（四）總結(jié)擴展
請學生小結(jié)：本節(jié)課了解了正切、余切的概念及 與 關系.知道特殊角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關系.本課用到了數(shù)形結(jié)合的思想.
結(jié)合 及 ，可擴展為 .
六、布置作業(yè)?
1.看教材p12～p14，培養(yǎng)學生看書習慣。
2.教材p16中習題6.2a組2、3、4、5、6.
七、
第二課時
一、
1.鞏固正、余切概念，學會用正、余切來解決問題.
2.通過例題教學，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力； 通過歸納、概括，培養(yǎng)學生邏輯思維能力。
3.培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神及良好的習慣。
二、學法引導
1.教學方法：指導探索研究法。
2.學生學法：主動探索研究法。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點：用正、余切解直角三角形。
2.難點：靈活運用正切、余切。
3.疑點：學生可能對正切、余切概念掌握不牢，導致出現(xiàn) 之類的錯誤，教學中應引起重視，使學生熟能生巧。
4.解決辦法：通過教師精心引導，學生積極思維，主動研究發(fā)現(xiàn)，及練習鞏固解決重難點及疑點。
四、教具準備
投影機（或電腦）、自制投影片（或課件）、三角板
五、教學步驟?
（一）明確目標
結(jié)合圖，說出什么是 的正切、余切？
請班級里較差學生回答，以檢測其掌握情況.
2. 與 具有什么關系？
答： （或 或 ）.
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系？
答： ，
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系？
答： ，
4.在0°～90°間，正切、余切值隨角度變化而變化的規(guī)律是什么？
通過以上四個問題，使學生對新學的知識有了系統(tǒng)的認識，便于應用.
對概念的鞏固最好的途徑是配備練習題.因此，教師在引導學生復習有關概念后，應出示練習題（投影片）.
1.在 中， 為直角， 、 、 所對的邊分別為 。
①若 ， ，則 ， ， ，
②若 ，則
2.比較大?。?/p>
① ?????? ②
③ ?????? ④
3.計算題：
① ；
② .
（二）整體感知
本課安排在本小節(jié)末，運用本小節(jié)的知識去解決一個簡單問題，再次為本章第二節(jié)解直角三角形做好準備.當然，這個問題只用上一小節(jié)學過的正弦、余弦也可以解決，不過那樣做，就要先求出斜邊 ，解的過程要繁瑣一些。
（三）
1.講授新課
【例】在 中， 為直角， 所對的邊分別是 ，已知 ， ，求 （保留兩位有效數(shù)字）.
這個題是本大節(jié)知識的綜合運用，考查知識點面面俱到，是檢查全體學生是否全面達到要求有效途徑，教學中應引導學生全體參與，積極地探求各種解法，然后加以比較，優(yōu)選出最佳方法，以培養(yǎng)學生思維的敏捷性、深刻性，形成良好的思維品質(zhì)。
分析：本題已知 和 ，求 ，觀察圖不難發(fā)現(xiàn)，邊 恰好是 的對邊與鄰邦邊，因此求 可選用以下兩個關系式：（1） ，（2） .
請學生比較一下，哪一個關系計算更簡便呢？答：若選用 ，由此得 ，用 除以含四位有效數(shù)字的數(shù)，計算比較麻煩；而選用 ，由此得 .用 乘以含四位有效數(shù)字的數(shù)，計算相對方便.
解： ，
∴
解完例題之后，應引導學生小結(jié)：本題顯示了“除法與乘法在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化”，其中“條件”是 與 互為倒數(shù).認真分析和利用這種轉(zhuǎn)化，有時可使計算簡便.
2.鞏固練習
本節(jié)課實際上是對前面課的綜合，通過對前面知識的綜合運用，以培養(yǎng)學生的比較、分析、概括等邏輯思維能力.因此例題后應安排練習題如下：
在 中， 為直角， 、 、 所對的邊分別為 .
（1）已知 ， ，求 和 .
（2）已知 ， ，求 和 .
（3）已知 ， ，求 .
（4）已知 ， ，求 .
（5）已知 ， ，求 .
（6）已知 ， ，求 和 （保留兩位有效數(shù)字）.
教法說明：給學生足夠的時間，引導學生討論、研究，篩選出最佳關系式使計算簡便，既培養(yǎng)學生計算能力，鞏固所學知識，又能培養(yǎng)學生的思維能力.
[參考答案]（1） ， ；（2） ， ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ， .
3.對學有余力的學生，可引導其讀教材p15想一想.使學生對正弦、余弦間的關系，正切、余切間的關系以及弦、切間的關系有所了解，保證知識的完整性，為高中三角函數(shù)的打下基礎.教師板書
.
（四）總結(jié)、擴展
引導學生總結(jié)：1.要認真分析直角三角形中的各邊與角的三角函數(shù)關系.2.因為同一個角的可以互相轉(zhuǎn)化，所以在選用關系時晝選擇乘法使計算較簡便.
六、布置作業(yè)?
1.看教材p1～p17，培養(yǎng)學生看書習慣。
2.教材p17習題a組7、8，學有余力的學生可選做b組題。
七、
正切和余切的關系轉(zhuǎn)換篇四
第一課時
一、
1.使學生了解正切、余切的概念，能夠正確地用 、 表示直角三角形（其中一個銳角為 ）中兩邊的比，了解 與 成倒數(shù)關系，熟記30°、45°、60°角的各個三角函數(shù)值，會計算含有這三個特殊銳角的三角函數(shù)值的式子，會由一個特殊銳角的三角函數(shù)值說出這個角的度數(shù)，了解一個銳角的正切（余切）值與它的余角的余切（正切）值之間的關系。
2.逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。
3.培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神。
二、學法引導
1.教學方法：運用類比法指導學生探索研究新知。
2.學生學法：運用類比法主動探索研究新知。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點：了解正切、余切的概念，熟記特殊角的正切值和余切值。
2.難點：了解的概念。
3.疑點：正切與余切概念的混淆.
4.解決辦法：通過類比引出概念和性質(zhì)，再通過大量直接應用，鞏固概念和性質(zhì)。
四、教具準備
投影機、投影片（自制）、三角板
五、教學步驟?
（一）明確目標
1.什么是銳角 的正弦、余弦？（結(jié)合下圖回答）。
2.填表
3.互為余角的正弦值、余弦值有何關系？
4.當角度在0°～90°變化時，銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)律？
5.我們已經(jīng)掌握一個銳角的正弦（余弦）是指直角三角形中該銳角的對邊（鄰邊）與斜邊的比值，那么直角三角形中，兩直角邊的比值與銳角的關系如何呢？在銳角三角函數(shù)中，除正、余弦外，還有其他一些三角函數(shù)，本節(jié)課我們。
（二）整體感知
正切、余切的概念，也是本間的重點和關鍵，是全章知識的基礎，對學生今后的或工作都十分重要，教材在繼第一節(jié)正弦和余弦后，又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切，像這樣，把概論、計算和應用分成兩塊，每塊自與一個整體小循環(huán)，第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的內(nèi)容，可以有效地克服難點，同時也使學生通過對比，便于掌握銳角三角函數(shù)的有關知識。
（三）
1.引入正切、余切概念
①本節(jié)課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關系，因此同學們首先應思考：當銳角固定時，兩直角邊的比值是否也固定？
因為學生在研究過正弦、余弦概念之后，已經(jīng)接觸過這類問題，所以大部分學生能口述證明，并進一步猜測“兩直角邊的比值一定是”。
②給出正切、余切概念。
如圖，在 中，把 的對邊與鄰邊的比叫做 的正切，記作 。
即???
并把 的鄰邊與對邊的比叫做 的余切，記作 ，
即????
2. 與 的關系
請學生觀察 與 的表達式，得結(jié)論 （或 ， ）這個關系式既重要又易于掌握，必須讓學生深刻理解，并與 區(qū)別開.
3.銳角三角函數(shù)
由上圖， ， ， ， ，把銳角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的銳角三角函數(shù)。
銳角三角函數(shù)概念的給出，使學生茅塞頓開，初步理解本節(jié)題目。
問：銳角三角函數(shù)能否為負數(shù)？
學生回答這個問題很容易。
4.特殊角的三角函數(shù)。
①教師出示幻燈片
請同學推算30°、45°、60°角的正切、余切值。（如下圖）
；
；
；
；
；
.
通過學生計算完成表格的過程，不僅復習鞏固了正切、余切概念，而且使學生熟記特殊角的正切值與余切值，同時滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。
0°，90°正切值與余切值可引導學生查“表”，學生完全能獨立查出。
5.根據(jù)互為余角的正弦值與余弦值的關系，結(jié)合圖形，引導學生發(fā)現(xiàn)互為余角的正切值與余切值的關系。
結(jié)論：任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。
即?? ， .
練習：1）請學生回答 與 的值各是多少？ 與 ？ 與 呢？學生口答之后，還可以為程度較高的學生設置問題： 與 有何關系？為什么？ 與 呢？
2）把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。
6.例題
【例1】求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
解：（1）
；
（2）
＝2.
練習1.求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
2.填空：
（1）
（2）若 ，則銳角
（3）若 ，則銳角
學生的計算能力可能不很強，尤其是分式，二次根式的運算，因此這里應查缺補漏，以培養(yǎng)學生運算能力。
（四）總結(jié)擴展
請學生小結(jié)：本節(jié)課了解了正切、余切的概念及 與 關系.知道特殊角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關系.本課用到了數(shù)形結(jié)合的思想.
結(jié)合 及 ，可擴展為 .
六、布置作業(yè)?
1.看教材p12～p14，培養(yǎng)學生看書習慣。
2.教材p16中習題6.2a組2、3、4、5、6.
七、
第二課時
一、
1.鞏固正、余切概念，學會用正、余切來解決問題.
2.通過例題教學，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力； 通過歸納、概括，培養(yǎng)學生邏輯思維能力。
3.培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神及良好的習慣。
二、學法引導
1.教學方法：指導探索研究法。
2.學生學法：主動探索研究法。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點：用正、余切解直角三角形。
2.難點：靈活運用正切、余切。
3.疑點：學生可能對正切、余切概念掌握不牢，導致出現(xiàn) 之類的錯誤，教學中應引起重視，使學生熟能生巧。
4.解決辦法：通過教師精心引導，學生積極思維，主動研究發(fā)現(xiàn)，及練習鞏固解決重難點及疑點。
四、教具準備
投影機（或電腦）、自制投影片（或課件）、三角板
五、教學步驟?
（一）明確目標
結(jié)合圖，說出什么是 的正切、余切？
請班級里較差學生回答，以檢測其掌握情況.
2. 與 具有什么關系？
答： （或 或 ）.
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系？
答： ，
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系？
答： ，
4.在0°～90°間，正切、余切值隨角度變化而變化的規(guī)律是什么？
通過以上四個問題，使學生對新學的知識有了系統(tǒng)的認識，便于應用.
對概念的鞏固最好的途徑是配備練習題.因此，教師在引導學生復習有關概念后，應出示練習題（投影片）.
1.在 中， 為直角， 、 、 所對的邊分別為 。
①若 ， ，則 ， ， ，
②若 ，則
2.比較大?。?/p>
① ?????? ②
③ ?????? ④
3.計算題：
① ；
② .
（二）整體感知
本課安排在本小節(jié)末，運用本小節(jié)的知識去解決一個簡單問題，再次為本章第二節(jié)解直角三角形做好準備.當然，這個問題只用上一小節(jié)學過的正弦、余弦也可以解決，不過那樣做，就要先求出斜邊 ，解的過程要繁瑣一些。
（三）
1.講授新課
【例】在 中， 為直角， 所對的邊分別是 ，已知 ， ，求 （保留兩位有效數(shù)字）.
這個題是本大節(jié)知識的綜合運用，考查知識點面面俱到，是檢查全體學生是否全面達到要求有效途徑，教學中應引導學生全體參與，積極地探求各種解法，然后加以比較，優(yōu)選出最佳方法，以培養(yǎng)學生思維的敏捷性、深刻性，形成良好的思維品質(zhì)。
分析：本題已知 和 ，求 ，觀察圖不難發(fā)現(xiàn)，邊 恰好是 的對邊與鄰邦邊，因此求 可選用以下兩個關系式：（1） ，（2） .
請學生比較一下，哪一個關系計算更簡便呢？答：若選用 ，由此得 ，用 除以含四位有效數(shù)字的數(shù)，計算比較麻煩；而選用 ，由此得 .用 乘以含四位有效數(shù)字的數(shù)，計算相對方便.
解： ，
∴
解完例題之后，應引導學生小結(jié)：本題顯示了“除法與乘法在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化”，其中“條件”是 與 互為倒數(shù).認真分析和利用這種轉(zhuǎn)化，有時可使計算簡便.
2.鞏固練習
本節(jié)課實際上是對前面課的綜合，通過對前面知識的綜合運用，以培養(yǎng)學生的比較、分析、概括等邏輯思維能力.因此例題后應安排練習題如下：
在 中， 為直角， 、 、 所對的邊分別為 .
（1）已知 ， ，求 和 .
（2）已知 ， ，求 和 .
（3）已知 ， ，求 .
（4）已知 ， ，求 .
（5）已知 ， ，求 .
（6）已知 ， ，求 和 （保留兩位有效數(shù)字）.
教法說明：給學生足夠的時間，引導學生討論、研究，篩選出最佳關系式使計算簡便，既培養(yǎng)學生計算能力，鞏固所學知識，又能培養(yǎng)學生的思維能力.
[參考答案]（1） ， ；（2） ， ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ， .
3.對學有余力的學生，可引導其讀教材p15想一想.使學生對正弦、余弦間的關系，正切、余切間的關系以及弦、切間的關系有所了解，保證知識的完整性，為高中三角函數(shù)的打下基礎.教師板書
.
（四）總結(jié)、擴展
引導學生總結(jié)：1.要認真分析直角三角形中的各邊與角的三角函數(shù)關系.2.因為同一個角的可以互相轉(zhuǎn)化，所以在選用關系時晝選擇乘法使計算較簡便.
六、布置作業(yè)?
1.看教材p1～p17，培養(yǎng)學生看書習慣。
2.教材p17習題a組7、8，學有余力的學生可選做b組題。
七、
正切和余切的關系轉(zhuǎn)換篇五
------正切和余切
一、??????????? 教學目標?：
1、理解銳角的正切、余切概念，能正確使用銳角的正切、余切的符號語言。
2、通過探究活動，培養(yǎng)學生觀察、分析問題，歸納、總結(jié)知識的能力；通過題目的變式，培養(yǎng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題的能力；通過不同題型的訓練，提高學生的通試能力；通過探索題的教學，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。
3、通過不同題型的訓練，培養(yǎng)學生的數(shù)學學習素養(yǎng)，通過學習形式的變換，孕育學生的品質(zhì)。
4、培養(yǎng)學生間良好的互動協(xié)作精神和對知識強烈的求知欲。
二、??????????? 教學設計的指導思想：
貫徹“教為主導、學為主體、練為主線”的原則，引導學生自始至終地參與學習的全過程，讓學生在探索過程中學得愉快、扎實、靈活，學會學習，發(fā)展能力。
三、??????????? 重、難點及教學策略：
重點：銳角的正切、余切概念，探究能力的培養(yǎng)
難點：理解一個銳角確定的直角三角形的兩邊的比是一個確定的值。
策略：突出重點、突破難點。
四、??????????? 教學準備：
u盤，電腦，一副三角板，一塊三角形模型，網(wǎng)格紙
五、??????????? 教學環(huán)節(jié)的流程簡圖：
創(chuàng)設問題情境 ——→ 問題的研究? ——→ 講授新課 ——→ 歸納小結(jié)及布置作業(yè)?
六、??????????? 教學過程?：
一）??????????? 創(chuàng)設問題情境：
1、引領練習：
①??? 在rt△abc中，∠c=90°，當∠a=45°時，
隨著三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值是否發(fā)生變化？
②??? 在rt△abc中，∠c=90°，當∠a=30°時，
隨著三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值是否發(fā)生變化？
2、提出問題：
在rt△abc中，∠c=90°，一般情況下，
當∠a的大小確定，三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值是否發(fā)生變化？
二）??????????? 問題的研究：
1、幾何畫板動畫演示：
2、運用定理證明：
得出結(jié)論：在rt△abc中，∠c=90°，一般情況下，
當∠a的大小確定，三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值不變。
三）??????????? 講授新課：
課題： 29.1? 正切和余切
1、基本概念：
①??? 在rt△abc中，∠c=90°，
正切：tga= =
（tangent） （tana）
（tg∠bac）
余切：ctga= =
（cota）
②??? tga=
③??? ?若∠a+∠b=90°，則tga=ctgb? ，ctga=tgb???
2、例題講解：
例1：在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝12，bc＝7，
①求tga的值.
②求tgb的值.
③過c點作cd⊥ab于d，求tg∠dca的值.
3、鞏固練習：
①??? 選擇題：
1.在rt△abc中, ∠c＝90°,若各邊的長都擴大3倍,則∠b的正切值(??? )
a.擴大3倍??? b.縮小為原來的 ??? c.沒有變化???? d.擴大9倍
2.在rt△abc中, ∠c＝90°, ∠a和∠b的對邊是a,b,則與 的值相等的是(???? )
??? ???? ????
②??? 解答題：
如圖，△abc是直角三角形，∠c＝90°，d、e在bc上，ac＝4，
bd＝5，de＝2，ec＝3，∠abc＝α，
∠adc＝β，∠aec＝γ，
求： ①tgα。
②ctgβ。
③tgγ。
4、探索題：能否在網(wǎng)格紙中畫一個rt△,使其中一個銳角的正切值為 。
四）??????????? 小結(jié)：（略）
五）??????????? 思考題：已知:在rt△abc中, ∠c＝90°,tga、tgb是方程 的兩根,求m.。
六）??????????? 布置作業(yè)?：
七、??????????? 板書設計?：（略）
八、??????????? 教學隨筆：（略）
正切和余切的關系轉(zhuǎn)換篇六
第一課時
一、目標
1.使學生了解正切、余切的概念，能夠正確地用 、 表示直角三角形（其中一個銳角為 ）中兩邊的比，了解 與 成倒數(shù)關系，熟記30°、45°、60°角的各個三角函數(shù)值，會計算含有這三個特殊銳角的三角函數(shù)值的式子，會由一個特殊銳角的三角函數(shù)值說出這個角的度數(shù)，了解一個銳角的正切（余切）值與它的余角的余切（正切）值之間的關系。
2.逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。
3.培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神。
二、學法引導
1.方法：運用類比法指導學生探索研究新知。
2.學生學法：運用類比法主動探索研究新知。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點：了解正切、余切的概念，熟記特殊角的正切值和余切值。
2.難點：了解的概念。
3.疑點：正切與余切概念的混淆.
4.解決辦法：通過類比引出概念和性質(zhì)，再通過大量直接應用，鞏固概念和性質(zhì)。
四、教具準備
投影機、投影片（自制）、三角板
五、步驟
（一）明確目標
1.什么是銳角 的正弦、余弦？（結(jié)合下圖回答）。
2.填表
3.互為余角的正弦值、余弦值有何關系？
4.當角度在0°～90°變化時，銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)律？
5.我們已經(jīng)掌握一個銳角的正弦（余弦）是指直角三角形中該銳角的對邊（鄰邊）與斜邊的比值，那么直角三角形中，兩直角邊的比值與銳角的關系如何呢？在銳角三角函數(shù)中，除正、余弦外，還有其他一些三角函數(shù)，本節(jié)課我們學習。
（二）整體感知
正切、余切的概念，也是本間的重點和關鍵，是全章知識的基礎，對學生今后的學習或工作都十分重要，教材在繼第一節(jié)正弦和余弦后，又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切，像這樣，把概論、計算和應用分成兩塊，每塊自與一個整體小循環(huán)，第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的內(nèi)容，可以有效地克服難點，同時也使學生通過對比，便于掌握銳角三角函數(shù)的有關知識。
（三）過程
1.引入正切、余切概念
①本節(jié)課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關系，因此同學們首先應思考：當銳角固定時，兩直角邊的比值是否也固定？
因為學生在研究過正弦、余弦概念之后，已經(jīng)接觸過這類問題，所以大部分學生能口述證明，并進一步猜測“兩直角邊的比值一定是”。
②給出正切、余切概念。
如圖，在 中，把 的對邊與鄰邊的比叫做 的正切，記作 。
即???
并把 的鄰邊與對邊的比叫做 的余切，記作 ，
即????
2. 與 的關系
請學生觀察 與 的表達式，得結(jié)論 （或 ， ）這個關系式既重要又易于掌握，必須讓學生深刻理解，并與 區(qū)別開.
3.銳角三角函數(shù)
由上圖， ， ， ， ，把銳角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的銳角三角函數(shù)。
銳角三角函數(shù)概念的給出，使學生茅塞頓開，初步理解本節(jié)題目。
問：銳角三角函數(shù)能否為負數(shù)？
學生回答這個問題很容易。
4.特殊角的三角函數(shù)。
①出示幻燈片
請同學推算30°、45°、60°角的正切、余切值。（如下圖）
；
；
；
；
；
.
通過學生計算完成表格的過程，不僅復習鞏固了正切、余切概念，而且使學生熟記特殊角的正切值與余切值，同時滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。
0°，90°正切值與余切值可引導學生查“表”，學生完全能獨立查出。
5.根據(jù)互為余角的正弦值與余弦值的關系，結(jié)合圖形，引導學生發(fā)現(xiàn)互為余角的正切值與余切值的關系。
結(jié)論：任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。
即?? ， .
練習：1）請學生回答 與 的值各是多少？ 與 ？ 與 呢？學生口答之后，還可以為程度較高的學生設置問題： 與 有何關系？為什么？ 與 呢？
2）把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。
6.例題
【例1】求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
解：（1）
；
（2）
＝2.
練習1.求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
2.填空：
（1）
（2）若 ，則銳角
（3）若 ，則銳角
學生的計算能力可能不很強，尤其是分式，二次根式的運算，因此這里應查缺補漏，以培養(yǎng)學生運算能力。
（四）總結(jié)擴展
請學生小結(jié)：本節(jié)課了解了正切、余切的概念及 與 關系.知道特殊角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關系.本課用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.
結(jié)合 及 ，可擴展為 .
六、布置作業(yè)?
1.看教材p12～p14，培養(yǎng)學生看書習慣。
2.教材p16中習題6.2a組2、3、4、5、6.
七、設計
第 1 2 頁 ?
正切和余切的關系轉(zhuǎn)換篇七
第一課時
一、教學目標
1.使學生了解正切、余切的概念,能夠正確地用 、 表示直角三角形(其中一個銳角為 )中兩邊的比,了解 與 成倒數(shù)關系,熟記30°、45°、60°角的各個三角函數(shù)值,會計算含有這三個非凡銳角的三角函數(shù)值的式子,會由一個非凡銳角的三角函數(shù)值說出這個角的度數(shù),了解一個銳角的正切(余切)值與它的余角的余切(正切)值之間的關系。
2.逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。
3.培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神。
二、學法引導
1.教學方法:運用類比法指導學生探索研究新知。
2.學生學法:運用類比法主動探索研究新知。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點:了解正切、余切的概念,熟記非凡角的正切值和余切值。
2.難點:了解正切和余切的概念。
3.疑點:正切與余切概念的混淆.
4.解決辦法:通過類比引出概念和性質(zhì),再通過大量直接應用,鞏固概念和性質(zhì)。
四、教具預備
投影機、投影片(自制)、三角板
五、教學步驟
(一)明確目標
1.什么是銳角 的正弦、余弦?(結(jié)合下圖回答)。
2.填表
3.互為余角的正弦值、余弦值有何關系?
4.當角度在0°~90°變化時,銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)律?
5.我們已經(jīng)把握一個銳角的正弦(余弦)是指直角三角形中該銳角的對邊(鄰邊)與斜邊的比值,那么直角三角形中,兩直角邊的比值與銳角的關系如何呢?在銳角三角函數(shù)中,除正、余弦外,還有其他一些三角函數(shù),本節(jié)課我們學習正切和余切。
(二)整體感知
正切、余切的概念,也是本間的重點和關鍵,是全章知識的基礎,對學生今后的學習或工作都十分重要,教材在繼第一節(jié)正弦和余弦后,又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切,像這樣,把概論、計算和應用分成兩塊,每塊自與一個整體小循環(huán),第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的內(nèi)容,可以有效地克服難點,同時也使學生通過對比,便于把握銳角三角函數(shù)的有關知識。
(三)教學過程
1.引入正切、余切概念
①本節(jié)課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關系,因此同學們首先應思考:當銳角固定時,兩直角邊的比值是否也固定?
因為學生在研究過正弦、余弦概念之后,已經(jīng)接觸過這類問題,所以大部分學生能口述證實,并進一步猜測“兩直角邊的比值一定是正切和余切”。
②給出正切、余切概念。
如圖,在 中,把 的對邊與鄰邊的比叫做 的正切,記作 。
即
并把 的鄰邊與對邊的比叫做 的余切,記作 ,
即
2. 與 的關系
請學生觀察 與 的表達式,得結(jié)論 (或 , )這個關系式既重要又易于把握,必須讓學生深刻理解,并與 區(qū)別開.
3.銳角三角函數(shù)
由上圖, , , , ,把銳角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的銳角三角函數(shù)。
銳角三角函數(shù)概念的給出,使學生茅塞頓開,初步理解本節(jié)題目。
問:銳角三角函數(shù)能否為負數(shù)?
學生回答這個問題很輕易。
4.非凡角的三角函數(shù)。
①教師出示幻燈片
請同學推算30°、45°、60°角的正切、余切值。(如下圖)
;
;
;
;
;
.
通過學生計算完成表格的過程,不僅復習鞏固了正切、余切概念,而且使學生熟記非凡角的正切值與余切值,同時滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。
0°,90°正切值與余切值可引導學生查“正切和余切表”,學生完全能獨立查出。
5.根據(jù)互為余角的正弦值與余弦值的關系,結(jié)合圖形,引導學生發(fā)現(xiàn)互為余角的正切值與余切值的關系。
結(jié)論:任意銳角的正切值等于它的余角的余切值,任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。
即 , .
練習:1)請學生回答 與 的值各是多少? 與 ? 與 呢?學生口答之后,還可以為程度較高的學生設置問題: 與 有何關系?為什么? 與 呢?
2)把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切:
(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) 。
6.例題
例1求下列各式的值:
(1) ;
(2) .
解:(1)
;
(2)
=2.
練習1.求下列各式的值:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
2.填空:
(1)
(2)若 ,則銳角
(3)若 ,則銳角
學生的計算能力可能不很強,尤其是分式,二次根式的運算,因此這里應查缺補漏,以培養(yǎng)學生運算能力。
(四)總結(jié)擴展
請學生小結(jié):本節(jié)課了解了正切、余切的概念及 與 關系.知道非凡角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關系.本課用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.
結(jié)合 及 ,可擴展為 .
六、布置作業(yè)
1.看教材p12~p14,培養(yǎng)學生看書習慣。
2.教材p16中習題6.2a組2、3、4、5、6.
七、板書設計
第二課時
一、教學目標
1.鞏固正、余切概念,學會用正、余切來解決問題.
2.通過例題教學,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力; 通過歸納、概括,培養(yǎng)學生邏輯思維能力。
3.培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神及良好的學習習慣。
二、學法引導
1.教學方法:指導探索研究法。
2.學生學法:主動探索研究法。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點:用正、余切解直角三角形。
2.難點:靈活運用正切、余切。
3.疑點:學生可能對正切、余切概念把握不牢,導致出現(xiàn) 之類的錯誤,教學中應引起重視,使學生熟能生巧。
4.解決辦法:通過教師精心引導,學生積極思維,主動研究發(fā)現(xiàn),及練習鞏固解決重難點及疑點。
四、教具預備
投影機(或電腦)、自制投影片(或課件)、三角板
五、教學步驟
(一)明確目標
結(jié)合圖,說出什么是 的正切、余切?
請班級里較差學生回答,以檢測其把握情況.
2. 與 具有什么關系?
答: (或 或 ).
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系?
答: ,
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系?
答: ,
4.在0°~90°間,正切、余切值隨角度變化而變化的規(guī)律是什么?
通過以上四個問題,使學生對新學的知識有了系統(tǒng)的熟悉,便于應用.
對概念的鞏固最好的途徑是配備練習題.因此,教師在引導學生復習有關概念后,應出示練習題(投影片).
1.在 中, 為直角, 、 、 所對的邊分別為 。
①若 , ,則 , , ,
②若 ,則
2.比較大小:
① ②
③ ④
3.計算題:
① ;
② .
(二)整體感知
本課安排在本小節(jié)末,運用本小節(jié)的知識去解決一個簡單問題,再次為本章第二節(jié)解直角三角形做好預備.當然,這個問題只用上一小節(jié)學過的正弦、余弦也可以解決,不過那樣做,就要先求出斜邊 ,解的過程要繁瑣一些。
(三)教學過程
1.講授新課
例在 中, 為直角, 所對的邊分別是 ,已知 , ,求 (保留兩位有效數(shù)字).
這個題是本大節(jié)知識的綜合運用,考查知識點面面俱到,是檢查全體學生是否全面達到教學目標要求有效途徑,教學中應引導學生全體參與,積極地探求各種解法,然后加以比較,優(yōu)選出最佳方法,以培養(yǎng)學生思維的靈敏性、深刻性,形成良好的思維品質(zhì)。
分析:本題已知 和 ,求 ,觀察圖不難發(fā)現(xiàn),邊 恰好是 的對邊與鄰邦邊,因此求 可選用以下兩個關系式:(1) ,(2) .
請學生比較一下,哪一個關系計算更簡便呢?答:若選用 ,由此得 ,用 除以含四位有效數(shù)字的數(shù),計算比較麻煩;而選用 ,由此得 .用 乘以含四位有效數(shù)字的數(shù),計算相對方便.
解: ,
∴
解完例題之后,應引導學生小結(jié):本題顯示了“除法與乘法在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化”,其中“條件”是 與 互為倒數(shù).認真分析和利用這種轉(zhuǎn)化,有時可使計算簡便.
2.鞏固練習
本節(jié)課實際上是對前面課的綜合,通過對前面知識的綜合運用,以培養(yǎng)學生的比較、分析、概括等邏輯思維能力.因此例題后應安排練習題如下:
在 中, 為直角, 、 、 所對的邊分別為 .
(1)已知 , ,求 和 .
(2)已知 , ,求 和 .
(3)已知 , ,求 .
(4)已知 , ,求 .
(5)已知 , ,求 .
(6)已知 , ,求 和 (保留兩位有效數(shù)字).
教法說明:給學生足夠的時間,引導學生討論、研究,篩選出最佳關系式使計算簡便,既培養(yǎng)學生計算能力,鞏固所學知識,又能培養(yǎng)學生的思維能力.
[參考答案](1) , ;(2) , ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) , .
3.對學有余力的學生,可引導其讀教材p15想一想.使學生對正弦、余弦間的關系,正切、余切間的關系以及弦、切間的關系有所了解,保證知識的完整性,為高中三角函數(shù)的學習打下基礎.教師板書
.
(四)總結(jié)、擴展
引導學生總結(jié):1.要認真分析直角三角形中的各邊與角的三角函數(shù)關系.2.因為同一個角的正切和余切可以互相轉(zhuǎn)化,所以在選用關系時晝選擇乘法使計算較簡便.
六、布置作業(yè)
1.看教材p1~p17,培養(yǎng)學生看書習慣。
2.教材p17習題a組7、8,學有余力的學生可選做b組題。
七、板書設計
正切和余切的關系轉(zhuǎn)換篇八
------正切和余切
初三數(shù)學組?? 徐? 榕
一、??????????? 教學目標?：
1、理解銳角的正切、余切概念，能正確使用銳角的正切、余切的符號語言。
2、通過探究活動，培養(yǎng)學生觀察、分析問題，歸納、總結(jié)知識的能力；通過題目的變式，培養(yǎng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題的能力；通過不同題型的訓練，提高學生的通試能力；通過探索題的教學，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。
3、通過不同題型的訓練，培養(yǎng)學生的數(shù)學學習素養(yǎng)，通過學習形式的變換，孕育學生的品質(zhì)。
4、培養(yǎng)學生間良好的互動協(xié)作精神和對知識強烈的求知欲。
二、??????????? 教學設計的指導思想：
貫徹“教為主導、學為主體、練為主線”的原則，引導學生自始至終地參與學習的全過程，讓學生在探索過程中學得愉快、扎實、靈活，學會學習，發(fā)展能力。
三、??????????? 重、難點及教學策略：
重點：銳角的正切、余切概念，探究能力的培養(yǎng)
難點：理解一個銳角確定的直角三角形的兩邊的比是一個確定的值。
策略：突出重點、突破難點。
四、??????????? 教學準備：
u盤，電腦，一副三角板，一塊三角形模型，網(wǎng)格紙
五、??????????? 教學環(huán)節(jié)的流程簡圖：
創(chuàng)設問題情境 ——→ 問題的研究? ——→ 講授新課 ——→ 歸納小結(jié)及布置作業(yè)?
六、??????????? 教學過程?：
一）??????????? 創(chuàng)設問題情境：
1、引領練習：
①??? 在rt△abc中，∠c=90°，當∠a=45°時，
隨著三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值是否發(fā)生變化？
②??? 在rt△abc中，∠c=90°，當∠a=30°時，
隨著三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值是否發(fā)生變化？
2、提出問題：
在rt△abc中，∠c=90°，一般情況下，
當∠a的大小確定，三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值是否發(fā)生變化？
二）??????????? 問題的研究：
1、幾何畫板動畫演示：
2、運用定理證明：
得出結(jié)論：在rt△abc中，∠c=90°，一般情況下，
當∠a的大小確定，三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值不變。
三）??????????? 講授新課：
課題： 29.1? 正切和余切
1、基本概念：
①??? 在rt△abc中，∠c=90°，
正切：tga= =
（tangent） （tana）
（tg∠bac）
余切：ctga= =
（cota）
②??? tga=
③??? ?若∠a+∠b=90°，則tga=ctgb? ，ctga=tgb???
2、例題講解：
例1：在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝12，bc＝7，
①求tga的值.
②求tgb的值.
③過c點作cd⊥ab于d，求tg∠dca的值.
3、鞏固練習：
①??? 選擇題：
1.在rt△abc中, ∠c＝90°,若各邊的長都擴大3倍,則∠b的正切值(??? )
a.擴大3倍??? b.縮小為原來的 ??? c.沒有變化???? d.擴大9倍
2.在rt△abc中, ∠c＝90°, ∠a和∠b的對邊是a,b,則與 的值相等的是(???? )
??? ???? ????
②??? 解答題：
如圖，△abc是直角三角形，∠c＝90°，d、e在bc上，ac＝4，
bd＝5，de＝2，ec＝3，∠abc＝α，
∠adc＝β，∠aec＝γ，
求： ①tgα。
②ctgβ。
③tgγ。
4、探索題：能否在網(wǎng)格紙中畫一個rt△,使其中一個銳角的正切值為 。
四）??????????? 小結(jié)：（略）
五）??????????? 思考題：已知:在rt△abc中, ∠c＝90°,tga、tgb是方程 的兩根,求m.。
六）??????????? 布置作業(yè)?：
七、??????????? 板書設計?：（略）
八、??????????? 教學隨筆：（略）
------正切和余切
初三數(shù)學組?? 徐? 榕
一、??????????? 教學目標?：
1、理解銳角的正切、余切概念，能正確使用銳角的正切、余切的符號語言。
2、通過探究活動，培養(yǎng)學生觀察、分析問題，歸納、總結(jié)知識的能力；通過題目的變式，培養(yǎng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題的能力；通過不同題型的訓練，提高學生的通試能力；通過探索題的教學，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。
3、通過不同題型的訓練，培養(yǎng)學生的數(shù)學學習素養(yǎng)，通過學習形式的變換，孕育學生的品質(zhì)。
4、培養(yǎng)學生間良好的互動協(xié)作精神和對知識強烈的求知欲。
二、??????????? 教學設計的指導思想：
貫徹“教為主導、學為主體、練為主線”的原則，引導學生自始至終地參與學習的全過程，讓學生在探索過程中學得愉快、扎實、靈活，學會學習，發(fā)展能力。
三、??????????? 重、難點及教學策略：
重點：銳角的正切、余切概念，探究能力的培養(yǎng)
難點：理解一個銳角確定的直角三角形的兩邊的比是一個確定的值。
策略：突出重點、突破難點。
四、??????????? 教學準備：
u盤，電腦，一副三角板，一塊三角形模型，網(wǎng)格紙
五、??????????? 教學環(huán)節(jié)的流程簡圖：
創(chuàng)設問題情境 ——→ 問題的研究? ——→ 講授新課 ——→ 歸納小結(jié)及布置作業(yè)?
六、??????????? 教學過程?：
一）??????????? 創(chuàng)設問題情境：
1、引領練習：
①??? 在rt△abc中，∠c=90°，當∠a=45°時，
隨著三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值是否發(fā)生變化？
②??? 在rt△abc中，∠c=90°，當∠a=30°時，
隨著三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值是否發(fā)生變化？
2、提出問題：
在rt△abc中，∠c=90°，一般情況下，
當∠a的大小確定，三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值是否發(fā)生變化？
二）??????????? 問題的研究：
1、幾何畫板動畫演示：
2、運用定理證明：
得出結(jié)論：在rt△abc中，∠c=90°，一般情況下，
當∠a的大小確定，三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值不變。
三）??????????? 講授新課：
課題： 29.1? 正切和余切
1、基本概念：
①??? 在rt△abc中，∠c=90°，
正切：tga= =
（tangent） （tana）
（tg∠bac）
余切：ctga= =
（cota）
②??? tga=
③??? ?若∠a+∠b=90°，則tga=ctgb? ，ctga=tgb???
2、例題講解：
例1：在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝12，bc＝7，
①求tga的值.
②求tgb的值.
③過c點作cd⊥ab于d，求tg∠dca的值.
3、鞏固練習：
①??? 選擇題：
1.在rt△abc中, ∠c＝90°,若各邊的長都擴大3倍,則∠b的正切值(??? )
a.擴大3倍??? b.縮小為原來的 ??? c.沒有變化???? d.擴大9倍
2.在rt△abc中, ∠c＝90°, ∠a和∠b的對邊是a,b,則與 的值相等的是(???? )
??? ???? ????
②??? 解答題：
如圖，△abc是直角三角形，∠c＝90°，d、e在bc上，ac＝4，
bd＝5，de＝2，ec＝3，∠abc＝α，
∠adc＝β，∠aec＝γ，
求： ①tgα。
②ctgβ。
③tgγ。
4、探索題：能否在網(wǎng)格紙中畫一個rt△,使其中一個銳角的正切值為 。
四）??????????? 小結(jié)：（略）
五）??????????? 思考題：已知:在rt△abc中, ∠c＝90°,tga、tgb是方程 的兩根,求m.。
六）??????????? 布置作業(yè)?：
七、??????????? 板書設計?：（略）
八、??????????? 教學隨筆：（略）
正切和余切的關系轉(zhuǎn)換篇九
一、??????????? 教學目標?：
1、理解銳角的正切、余切概念，能正確使用銳角的正切、余切的符號語言。
2、通過探究活動，培養(yǎng)學生觀察、分析問題，歸納、總結(jié)知識的能力；通過題目的變式，培養(yǎng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題的能力；通過不同題型的訓練，提高學生的通試能力；通過探索題的教學，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。
3、通過不同題型的訓練，培養(yǎng)學生的數(shù)學學習素養(yǎng)，通過學習形式的變換，孕育學生的品質(zhì)。
4、培養(yǎng)學生間良好的互動協(xié)作精神和對知識強烈的求知欲。
二、??????????? 教學設計的指導思想：
貫徹“教為主導、學為主體、練為主線”的原則，引導學生自始至終地參與學習的全過程，讓學生在探索過程中學得愉快、扎實、靈活，學會學習，發(fā)展能力。
三、??????????? 重、難點及教學策略：
重點：銳角的正切、余切概念，探究能力的培養(yǎng)
難點：理解一個銳角確定的直角三角形的兩邊的比是一個確定的值。
策略：突出重點、突破難點。
四、??????????? 教學準備：
u盤，電腦，一副三角板，一塊三角形模型，網(wǎng)格紙
五、??????????? 教學環(huán)節(jié)的流程簡圖：
創(chuàng)設問題情境 ——→ 問題的研究? ——→ 講授新課 ——→ 歸納小結(jié)及布置作業(yè)?
六、??????????? 教學過程?：
一）??????????? 創(chuàng)設問題情境：
1、引領練習：
①??? 在rt△abc中，∠c=90°，當∠a=45°時，
隨著三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值是否發(fā)生變化？
②??? 在rt△abc中，∠c=90°，當∠a=30°時，
隨著三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值是否發(fā)生變化？
2、提出問題：
在rt△abc中，∠c=90°，一般情況下，
當∠a的大小確定，三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值是否發(fā)生變化？
二）??????????? 問題的研究：
1、幾何畫板動畫演示：
2、運用定理證明：
得出結(jié)論：在rt△abc中，∠c=90°，一般情況下，
當∠a的大小確定，三角形的邊長的放大或縮小時，上面的比值不變。
三）??????????? 講授新課：
課題： 29.1? 正切和余切
1、基本概念：
①??? 在rt△abc中，∠c=90°，
正切：tga= =
（tangent） （tana）
（tg∠bac）
余切：ctga= =
（cota）
②??? tga=
③??? ?若∠a+∠b=90°，則tga=ctgb? ，ctga=tgb???
2、例題講解：
例1：在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝12，bc＝7，
①求tga的值.
②求tgb的值.
③過c點作cd⊥ab于d，求tg∠dca的值.
3、鞏固練習：
①??? 選擇題：
1.在rt△abc中, ∠c＝90°,若各邊的長都擴大3倍,則∠b的正切值(??? )
a.擴大3倍??? b.縮小為原來的 ??? c.沒有變化???? d.擴大9倍
2.在rt△abc中, ∠c＝90°, ∠a和∠b的對邊是a,b,則與 的值相等的是(???? )
??? ???? ????
②??? 解答題：
如圖，△abc是直角三角形，∠c＝90°，d、e在bc上，ac＝4，
bd＝5，de＝2，ec＝3，∠abc＝α，
∠adc＝β，∠aec＝γ，
求： ①tgα。
②ctgβ。
③tgγ。
4、探索題：能否在網(wǎng)格紙中畫一個rt△,使其中一個銳角的正切值為 。
四）??????????? 小結(jié)：（略）
五）??????????? 思考題：已知:在rt△abc中, ∠c＝90°,tga、tgb是方程 的兩根,求m.。
六）??????????? 布置作業(yè)?：
七、??????????? 板書設計?：（略）
八、??????????? 教學隨筆：（略）
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