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九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納江蘇篇一
若函數(shù)為一元二次函數(shù),則可以用這種方法求值域,關(guān)鍵在于正確化成完全平方式。
(2)換元法:
常用代數(shù)或三角代換法,把所給函數(shù)代換成值域容易確定的另一函數(shù),從而得到原函數(shù)值域,如y=ax+b+_cx-d(a,b,c,d均為常數(shù)且ac不等于0)的函數(shù)常用此法求解。
(3)判別式法:
若函數(shù)為分式結(jié)構(gòu),且分母中含有未知數(shù)x,則常用此法。通常去掉分母轉(zhuǎn)化為一元二次方程,再由判別式△0,確定y的范圍,即原函數(shù)的值域
(4)不等式法:
借助于重要不等式a+bab(a0)求函數(shù)的值域。用不等式法求值域時(shí),要注意均值不等式的使用條件一正,二定,三相等。
(5)反函數(shù)法:
若原函數(shù)的值域不易直接求解,則可以考慮其反函數(shù)的定義域,根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)定義域與值域互換的特點(diǎn),確定原函數(shù)的值域,如y=cx+d/ax+b(a0)型函數(shù)的值域,可采用反函數(shù)法,也可用分離常數(shù)法。
(6)單調(diào)性法:
首先確定函數(shù)的定義域,然后在根據(jù)其單調(diào)性求函數(shù)值域,常用到函數(shù)y=x+p/x(p0)的單調(diào)性:增區(qū)間為(-,-p)的左開右閉區(qū)間和(p,+)的左閉右開區(qū)間,減區(qū)間為(-p,0)和(0,p)
(7)數(shù)形結(jié)合法:
分析函數(shù)解析式表達(dá)的集合意義,根據(jù)其圖像特點(diǎn)確定值域。
練習(xí)題:
1.函數(shù)y=x+1x的定義域?yàn)開_______.
解析:利用解不等式組的方法求解.
要使函數(shù)有意義,需x+1≥0,x≠0,解得x≥-1,x≠0.
∴原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥-1且x≠0}.
答案:{x|x≥-1且x≠0}
2.函數(shù)f(x)=11-2x的定義域是________
解析:由1-2x>0x<12.
答案:xx<12
3.已知f(x)=3x+2,x<1,x2+ax,x≥1.若f(f(0))=4a,則實(shí)數(shù)a=________.
解析:∵f(0)=2,f(f(0))=f(2)=4+2a.
∴4+2a=4a;a=2.
答案:2
九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納江蘇篇二
易錯(cuò)點(diǎn)1:中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的有關(guān)概念理解不透徹,錯(cuò)求中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù).
易錯(cuò)點(diǎn)2:在從統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí),一定要先判斷統(tǒng)計(jì)圖的準(zhǔn)確性.不規(guī)則的統(tǒng)計(jì)圖往往使人產(chǎn)生錯(cuò)覺,得到不準(zhǔn)確的信息.
易錯(cuò)點(diǎn)3:對(duì)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的概念及它們的適用范圍不清楚,造成錯(cuò)誤.
易錯(cuò)點(diǎn)4:極差、方差的概念理解不清晰,從而不能正確求出一組數(shù)據(jù)的極差、方差.
易錯(cuò)點(diǎn)5:概率與頻率的意義理解不清晰,不能正確的求出事件的概率.
好題1.在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,10名學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?5 80 80 70 85 95 70 65 70 80.則這次競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)是多少?
解析:對(duì)眾數(shù)的概念理解不清,會(huì)誤認(rèn)為這組數(shù)據(jù)中80出現(xiàn)了三次,所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是80.根據(jù)眾數(shù)的意義可知,一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).而在數(shù)據(jù)中70也出現(xiàn)了三次,所以這組數(shù)據(jù)是眾數(shù)有兩個(gè).
答案:這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是70和80.
好題2.某班53名學(xué)生右眼視力(裸視)的檢查結(jié)果如下表所示:
則該班學(xué)生右眼視力的中位數(shù)是_______.
解析:本題表面上看視力數(shù)據(jù)已經(jīng)排序,可以求視力的中位數(shù),有的同學(xué)會(huì)誤認(rèn)為:因?yàn)?1個(gè)數(shù)據(jù)按照大小的順序排列有:0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、1.0、1.2、1.5,則知排在第6個(gè)的數(shù)是0.6.但注意觀察可以發(fā)現(xiàn):題目中的視力數(shù)據(jù)實(shí)際是小組數(shù)據(jù),小組的人數(shù)才是視力數(shù)據(jù)的真正個(gè)數(shù).因此,不能直接求視力數(shù)據(jù)的中位數(shù),而應(yīng)先求出53名學(xué)生視力數(shù)據(jù)的中間數(shù)據(jù),即第27名學(xué)生的視力就是本班學(xué)生右眼視力的中位數(shù).
答案:(53+1)÷2=27,所以第27名學(xué)生的右眼視力為中位數(shù),從表中人數(shù)欄數(shù)出第27名學(xué)生所對(duì)應(yīng)的右眼視力為0.8,即該班學(xué)生右眼視力的中位數(shù)是0.8.
九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納江蘇篇三
二次函數(shù)概述
二次函數(shù)(quadraticfunction)是指未知數(shù)的次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:
一般式:y=ax^2;+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),則稱y為x的二次函數(shù)。頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2+k或y=a(x+m)^2+k(兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)一樣,但初中課本上都是第一個(gè)式子)
交點(diǎn)式(與x軸):y=a(x-x1)(x-x2)
重要概念:(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時(shí),開口方向向上,a<0時(shí),開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
x是自變量,y是x的二次函數(shù)
x1,x2=[-b±根號(hào)下(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式
求根的方法還有十字相乘法和配方法
開口方向:a>0向上,a<0向下
頂點(diǎn)坐標(biāo):(0,0)
對(duì)稱軸:y軸
函數(shù)變化:
(1)當(dāng)a>0
x>0時(shí),y隨x增大而增大;
x<0時(shí),y隨x增大而減小.
(2)當(dāng)a<0
x>0時(shí),y隨x增大而減小;
x<0時(shí),y隨x增大而增大.
(小)值:
(1)當(dāng)a>0,當(dāng)x=0時(shí),y最小=0.
(2)當(dāng)a<0,當(dāng)x=0時(shí),y=0.一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0),則稱y為x的二次函數(shù)。頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0).
(3)交點(diǎn)式(與x軸):y=a(x-x1)(x-x2)
(4)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,a≠0.
說(shuō)明:
(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k),h=0時(shí),拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當(dāng)k=0時(shí),拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時(shí),拋物線y=ax2的'頂點(diǎn)在原點(diǎn).
(2)當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn)時(shí),即對(duì)應(yīng)二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根x1和x2存在時(shí),根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函數(shù)y=ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).
1、概念:三條邊對(duì)應(yīng)成比例,三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫相似三角形。
2、相似比:在相似三角形中,對(duì)應(yīng)邊的比叫作這兩個(gè)三角形的相似比。
3、全等三角形:形狀和大小都相同的三角形稱為全等三角形。全等三角形是相似三角形的特例。
例:
1、兩個(gè)全等三角形一定相似嗎?為什么?
相似.因?yàn)閷?duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例
2、兩個(gè)直角三角形一定相似嗎?為什么?
兩個(gè)直角三角形不一定相似。因?yàn)閷?duì)應(yīng)角不一定相等,對(duì)應(yīng)邊也不一定成比例.
3、兩個(gè)等腰直角三角形呢?
兩個(gè)等腰直角三角形相似.因?yàn)閷?duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例.
4、兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎?為什么?
兩個(gè)等腰三角形不一定相似.
5、兩個(gè)等邊三角形呢?
相似三角形的判定
1.兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等
2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等
3.三邊對(duì)應(yīng)成比例
4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
相似三角形的判定方法
根據(jù)相似圖形的特征來(lái)判斷。(對(duì)應(yīng)邊成比例,對(duì)應(yīng)邊的夾角相等)
1.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;
(這是相似三角形判定的引理,是以下判定方法證明的基礎(chǔ)。這個(gè)引理的證明方法需要平行線分線段成比例的證明)
2.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似;
3.如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似;
4.如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似;
5.對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形(用定義證明)
絕對(duì)相似三角形
1.兩個(gè)全等的三角形一定相似。
2.兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。(兩個(gè)等腰三角形,如果頂角或底角相等,那么這兩個(gè)等腰三角形相似。)
3.兩個(gè)等邊三角形一定相似。
直角三角形相似判定定理
1.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。
2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似,并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似。
射影定理
三角形相似的判定定理推論
推論一:頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。
推論二:腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。
推論三:有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。
推論四:直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。
推論五:如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例,那么這兩個(gè)三角形相似。
推論六:如果一個(gè)三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例,那么這兩個(gè)三角形相似。1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比。
2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。
3.相似三角形面積的比等于相似比的平方
注意:全等是特殊的相似,即相似比為1:1的情況
銳角角a的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),(余割csc)都叫做角a的銳角三角函數(shù)。
正弦等于對(duì)邊比斜邊
余弦等于鄰邊比斜邊
正切等于對(duì)邊比鄰邊
余切等于鄰邊比對(duì)邊
正割等于斜邊比鄰邊
余割等于斜邊比對(duì)邊
正切與余切互為倒數(shù)
它的本質(zhì)是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的,其定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域。另一種定義是在直角三角形中,但并不完全?,F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無(wú)窮數(shù)列的極限和微分方程的解,將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。
由于三角函數(shù)的周期性,它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。
它有六種基本函數(shù)(初等基本表示):
函數(shù)名正弦余弦正切余切正割余割
在平面直角坐標(biāo)系xoy中,從點(diǎn)o引出一條射線op,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為θ,設(shè)op=r,p點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)有
正弦函數(shù)sinθ=y/r
余弦函數(shù)cosθ=x/r
正切函數(shù)tanθ=y/x
余切函數(shù)cotθ=x/y
正割函數(shù)secθ=r/x
余割函數(shù)cscθ=r/y
(斜邊為r,對(duì)邊為y,鄰邊為x。)
以及兩個(gè)不常用,已趨于被淘汰的函數(shù):
正矢函數(shù)versinθ=1-cosθ
余矢函數(shù)coversθ=1-sinθ
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